Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада Даниель интегралы - Riemann интегралы сияқты элементарлық нұсқалардың тұжырымдамасын жалпылайтын интеграл түрі, оған студенттер әдетте алғаш таныстырылады. Лебег интегралының дәстүрлі формуласының негізгі қиындықтарының бірі - интеграл үшін пайдалы нәтижелер алудан бұрын ол жұмыс істейтін өлшем теориясын бастапқыда әзірлеуді талап етеді. Алайда, бұл кемшілікке ұшырамайтын және дәстүрлі формулаға қарағанда бірнеше маңызды артықшылықтарға ие, әсіресе интеграл жоғары өлшемді кеңістікке және Стильджес интегралы сияқты одан әрі жалпылануға жалпыланғандықтан, басқа да тәсіл бар. Негізгі идея интегралды аксиомаландыруды қамтиды.
In mathematics, the Daniell integral is a type of integration that generalizes the concept of more elementary versions such as the Riemann integral to which students are typically first introduced. One of the main difficulties with the traditional formulation of the Lebesgue integral is that it requires the initial development of a workable measure theory before any useful results for the integral can be obtained. However, an alternative approach is available, developed by that does not suffer from this deficiency, and has a few significant advantages over the traditional formulation, especially as the integral is generalized into higher dimensional spaces and further generalizations such as the Stieltjes integral. The basic idea involves the axiomatization of the integral.
Қасиеттері
Лебег интегралының дәстүрлі теориясындағы Лебегтің басымдықты конвергенция теоремасы, Риесс-Фишер теоремасы, Фатудың леммасы және Фубини теоремасы сияқты барлық маңызды теоремалар осы конструкцияны қолдана отырып дәлелденуі мүмкін. Оның қасиеттері дәстүрлі Лебег интегралымен бірдей.
Nearly all of the important theorems in the traditional theory of the Lebesgue integral, such as Lebesgue's dominated convergence theorem, the Riesz–Fischer theorem, Fatou's lemma, and Fubini's theorem may also readily be proved using this construction. Its properties are identical to the traditional Lebesgue integral.
Өлшем
Жинақтар мен функциялар арасындағы табиғи сәйкестіктен Daniell интегралын өлшем теориясын құру үшін пайдалануға болады. Егер біз белгілі бір жиынның сипаттама функциясын алсақ, онда оның интегралы жиынның өлшемі ретінде қабылдануы мүмкін. Даниэлл интегралына негізделген өлшемнің бұл анықтамасы дәстүрлі Лебег өлшеміне тең екені дәлелденді.
Because of the natural correspondence between sets and functions, it is also possible to use the Daniell integral to construct a measure theory. If we take the characteristic function of some set, then its integral may be taken as the measure of the set. This definition of measure based on the Daniell integral can be shown to be equivalent to the traditional Lebesgue measure.
Дәстүрлі формуламен салыстырғанда артықшылықтары
Жалпы интегралды құрудың бұл әдісі Лебегтің дәстүрлі әдісіне қарағанда, әсіресе функционалдық талдау саласында бірнеше артықшылықтарға ие. Лебег пен Даниэлл конструкциялары, жоғарыда көрсетілгендей, егер қарапайым шекті бағаланған қадамдық функциялар элементарлық функциялар ретінде таңдалса, эквивалентті болады. Алайда, интегралдың анықтамасын күрделі салаларға кеңейтуге тырысқанда (мысалы, сызықтық функционалдың интегралын анықтауға тырысқанда), Лебесгтің құрылымын қолдана отырып, практикалық қиындықтарға ұшырайды, олар Даниэлл әдісімен жеңілдетіледі. Польшалық математик Ян Микузинский Даниэлл интеграциясының баламалы және табиғи формуласын жасады. Оның формуласы Бохнер интегралы (Банах кеңістіктеріндегі мәндерді алатын карталар үшін Лебег интегралы) үшін жұмыс істейді. Микузинский леммасы нөлдік жиынтықты атамай-ақ интегралды анықтауға мүмкіндік береді. Ол сонымен қатар Даниель интегралын пайдалана отырып, бірнеше Бохнер интегралдары үшін айнымалылар теоремасының өзгеруін және Бохнер интегралдары үшін Фубини теоремасын дәлелдеді. Асплунд пен Бангарттың кітабы нақты бағаланған функциялар үшін осы тәсілге айқын қарайды. Сонымен қатар, ол Даниэлл Микусинский әдісін қолдана отырып, абстрактілік Радон Никодим теоремасының дәлелін ұсынады.
This method of constructing the general integral has a few advantages over the traditional method of Lebesgue, particularly in the field of functional analysis. The Lebesgue and Daniell constructions are equivalent, as pointed out above, if ordinary finite valued step functions are chosen as elementary functions. However, as one tries to extend the definition of the integral into more complex domains (e. g. attempting to define the integral of a linear functional), one runs into practical difficulties using Lebesgue's construction that are alleviated with the Daniell approach. The Polish mathematician Jan Mikusinski has made an alternative and more natural formulation of Daniell integration by using the notion of absolutely convergent series. His formulation works for the Bochner integral (the Lebesgue integral for mappings taking values in Banach spaces). Mikusinski's lemma allows one to define the integral without mentioning null sets. He also proved the change of variables theorem for multiple Bochner integrals and Fubini's theorem for Bochner integrals using Daniell integration. The book by Asplund and Bungart carries a lucid treatment of this approach for real valued functions. It also offers a proof of the abstract Radon–Nikodym theorem using the Daniell–Mikusinski approach.