Введение
В математике интеграл Даниэля - это тип интеграла, который обобщает концепцию более элементарных версий, таких как интеграл Римана, с которым обычно впервые знакомятся студенты. Одна из основных трудностей традиционной формулировки интеграла Лебега заключается в том, что она требует первоначальной разработки работоспособной теории меры, прежде чем можно будет получить какие-либо полезные результаты для интеграла. Однако существует альтернативный подход, разработанный в 2001 году, который не страдает от этого недостатка и имеет несколько значительных преимуществ перед традиционной формулировкой, особенно поскольку интеграл обобщается в пространства с более высокими измерениями и дальнейшие обобщения, такие как интеграл Стильджеса. Основная идея включает аксиоматизацию интеграла.
Свойства
Почти все важные теоремы в традиционной теории интеграла Лебегге, такие как доминирующая теорема конвергенции Лебегге, теорема Риэша-Фишера, лемма Фату и теорема Фубини, также могут быть легко доказаны с помощью этой конструкции. Его свойства идентичны традиционному интегралу Лебега.
Измерение
Из-за естественной соответствия между множествами и функциями, также возможно использовать интеграл Даниэля для построения теории меры. Если мы возьмем характерную функцию некоторого множества, то его интеграл можно принять за меру множества. Это определение меры, основанное на интеграле Даниэля, может быть эквивалентно традиционной мере Лебега.
Преимущества по сравнению с традиционной формулировкой
Этот метод построения общего интеграла имеет несколько преимуществ перед традиционным методом Лебежа, особенно в области функционального анализа. Конструкции Лебега и Даниэля эквивалентны, как указано выше, если обычные конечные оцененные ступенчатые функции выбираются в качестве элементарных функций. Однако, когда кто-то пытается расширить определение интеграла в более сложные области (например, пытается определить интеграл линейного функционала), он сталкивается с практическими трудностями, используя конструкцию Лебегге, которые облегчаются с помощью подхода Даниэля. Польский математик Ян Микусински сделал альтернативную и более естественную формулировку интеграции Даниэля, используя понятие абсолютно сходящихся рядов. Его формула работает для интеграла Бохнера (интеграла Лебеж для отображения, принимающего значения в пространствах Банаха). Лема Микусинского позволяет определить интеграл без упоминания нулевых множеств. Он также доказал теорему об изменении переменных для множественных интегралов Бохнера и теорему Фубини для интегралов Бохнера с использованием интеграла Даниэля. Книга Асплунда и Бангарт содержит ясную трактовку этого подхода для реальных оцененных функций. Он также предлагает доказательство абстрактной теоремы РадонаНикодима с использованием подхода ДаниэляМикусинского.