Кіріспе
Математикада екі өлшенетін кеңістік пен оларға сәйкес келетін өлшемдер берілген кезде, осы кеңістікте өлшенетін көбейтінді кеңістігі мен көбейтінді өлшемін алуға болады. Тұжырымдамалық тұрғыдан, бұл жиындардың Декарт көбейтіндісін және екі топологиялық кеңістіктің көбейтінді топологиясын анықтауға ұқсас, бірақ көбейтінді өлшемі үшін көптеген табиғи таңдаулар болуы мүмкін. Екі өлшенетін кеңістік болсын, яғни, және тиісінше сигма-алгебралар, және осы кеңістіктердегі өлшемдер болсын. Көбейтінді өлшемі (көптеген авторлар бойынша ) барлық үшін келесі қасиетті қанағаттандыратын өлшенетін кеңістіктегі өлшем деп анықталады:
(also denoted by by many authors)
is defined to be a measure on the measurable space satisfying the property
for all
(In multiplying measures, some of which are infinite, we define the product to be zero if any factor is zero.) In fact, when the spaces are finite, the product measure is uniquely defined, and for every measurable set E,
where and , which are both measurable sets. The existence of this measure is guaranteed by the Hahn–Kolmogorov theorem. The uniqueness of product measure is guaranteed only in the case that both and are σ finite. The Borel measures on the Euclidean space Rn can be obtained as the product of n copies of Borel measures on the real line R.
Even if the two factors of the product space are complete measure spaces, the product space may not be. Consequently, the completion procedure is needed to extend the Borel measure into the Lebesgue measure, or to extend the product of two Lebesgue measures to give the Lebesgue measure on the product space. The opposite construction to the formation of the product of two measures is disintegration, which in some sense "splits" a given measure into a family of measures that can be integrated to give the original measure.
(өлшемдерді көбейтуде, олардың кейбіреуі шексіз болса да, егер кез келген көбейткіш нөлге тең болса, көбейтінді нөл деп анықталады.) Шындығында, егер кеңістіктер шекті болса, көбейтінді өлшемі бірегей түрде анықталады және кез келген өлшенетін жиын үшін E, мұндағы және екеуі де өлшенетін жиындар. Бұл өлшемнің бар екендігі Хан-Колмогоров теоремасымен кепілдендірілген. Көбейтінді өлшемінің бірегейлігі тек екеуі де сигма-шекті болған жағдайда ғана кепілдендіріледі. Евклид кеңістігіндегі Rn-дегі Борель өлшемдерін R нақты сызығындағы n Борель өлшемдерінің көбейтіндісі ретінде алуға болады.
(also denoted by by many authors)
is defined to be a measure on the measurable space satisfying the property
for all
(In multiplying measures, some of which are infinite, we define the product to be zero if any factor is zero.) In fact, when the spaces are finite, the product measure is uniquely defined, and for every measurable set E,
where and , which are both measurable sets. The existence of this measure is guaranteed by the Hahn–Kolmogorov theorem. The uniqueness of product measure is guaranteed only in the case that both and are σ finite. The Borel measures on the Euclidean space Rn can be obtained as the product of n copies of Borel measures on the real line R.
Even if the two factors of the product space are complete measure spaces, the product space may not be. Consequently, the completion procedure is needed to extend the Borel measure into the Lebesgue measure, or to extend the product of two Lebesgue measures to give the Lebesgue measure on the product space. The opposite construction to the formation of the product of two measures is disintegration, which in some sense "splits" a given measure into a family of measures that can be integrated to give the original measure.
Егер көбейтінді кеңістігінің екі факторы толық өлшемді кеңістіктер болса да, көбейтінді кеңістігі толық болмауы мүмкін. Сәйкесінше, Борель өлшемін Лебег өлшеміне кеңейту үшін немесе екі Лебег өлшемінің көбейтіндісін өнім кеңістігіндегі Лебег өлшемін алу үшін толықтыру процедурасы қажет. Екі өлшемнің көбейтіндісін құруға қарама-қарсы операция – ыдырау, ол белгілі бір мағынада берілген өлшемді бастапқы өлшемді алу үшін интегралданатын өлшемдер жиынтығына "бөліп" береді.
(also denoted by by many authors)
is defined to be a measure on the measurable space satisfying the property
for all
(In multiplying measures, some of which are infinite, we define the product to be zero if any factor is zero.) In fact, when the spaces are finite, the product measure is uniquely defined, and for every measurable set E,
where and , which are both measurable sets. The existence of this measure is guaranteed by the Hahn–Kolmogorov theorem. The uniqueness of product measure is guaranteed only in the case that both and are σ finite. The Borel measures on the Euclidean space Rn can be obtained as the product of n copies of Borel measures on the real line R.
Even if the two factors of the product space are complete measure spaces, the product space may not be. Consequently, the completion procedure is needed to extend the Borel measure into the Lebesgue measure, or to extend the product of two Lebesgue measures to give the Lebesgue measure on the product space. The opposite construction to the formation of the product of two measures is disintegration, which in some sense "splits" a given measure into a family of measures that can be integrated to give the original measure.
Мысалдар
Екі өлшем кеңістігі берілгенде, олардың көбейтіндісінде әрқашан бірегей ең үлкен өнім өлшемі μmax болады, мұнда егер μmax(A) белгілі бір өлшенетін жиын A үшін шекті болса, онда кез келген өнім өлшемі μ үшін μmax(A) = μ(A) теңдігі орындалады. Атап айтқанда, оның кез келген өлшенетін жиынға қатысты мәні, кез келген басқа өнім өлшемінің мәнінен кем болмайды. Бұл өлшем Каратеодори кеңейту теоремасы арқылы алынады. Кейде бірегей ең кішкентай өнім өлшемі μmin де болады, ол μmin(S) = sup{μmax(A) : A ⊂ S, μmax(A) шекті} формуласымен беріледі, мұнда A және S өлшенетін жиындар деп есептеледі. Міне, бір өнімнің бірнеше өнім өлшемі бар мысал. X×Y көбейтіндісін қарастырайық, мұнда X – Лебег өлшемімен бірлік аралық, ал Y – санау өлшемімен бірлік аралық, және барлық жиындар өлшенетін. Онда ең кішкентай өнім өлшемі үшін жиынның өлшемі оның көлденең қималарының өлшемдерінің қосындысына тең, ал ең үлкен өнім өлшемі үшін жиынның өлшемі шексіз болады, егер ол A×B түріндегі жиындардың санаулы одағына кірмесе, мұнда A-ның Лебег өлшемі 0-ге тең немесе B бір нүкте болады. (Бұл жағдайда өлшем шекті немесе шексіз болуы мүмкін.) Атап айтқанда, диагональдің ең кішкентай өнім өлшемі бойынша өлшемі 0-ге, ал ең үлкен өнім өлшемі бойынша өлшемі шексіз болады.