Введение

В математике, при наличии двух измеримых пространств и мер на них, можно получить измеримое пространство произведения и меру произведения на этом пространстве. Концептуально это похоже на определение декартова произведения множеств и топологии произведения двух топологических пространств, за исключением того, что существует множество естественных выборов для меры произведения. Пусть и будут два измеримых пространства, то есть, и являются сигма-алгебрами на и соответственно, и пусть и будут мерами на этих пространствах. Обозначим сигма-алгеброй на декартовом произведении , порожденной подмножествами вида , где и . Эта сигма-алгебра называется тензорным произведением σ-алгебр на пространстве произведения. Мера произведения (также обозначаемая многими авторами) определяется как мера на измеримом пространстве , удовлетворяющая свойству

для всех

(При умножении мер, некоторые из которых бесконечны, мы определяем произведение равным нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.) Фактически, когда пространства конечны, мера произведения однозначно определена, и для каждого измеримого множества E,

где и , которые являются измеримыми множествами. Существование этой меры гарантируется теоремой Хана — Колмогорова. Уникальность меры произведения гарантируется только в том случае, если и σ-конечны. Борелевские меры на евклидовом пространстве можно получить как произведение n копий борелевских мер на вещественной прямой R.

Даже если два множителя пространства произведения являются полными пространствами мер, само пространство произведения может не быть полным. Следовательно, процедура дополнения необходима для расширения борелевской меры до меры Лебега или для расширения произведения двух мер Лебега, чтобы получить меру Лебега на пространстве произведения. Противоположной операцией построению произведения двух мер является дезинтеграция, которая в некотором смысле "разлагает" данную меру на семейство мер, которые можно проинтегрировать, чтобы получить исходную меру.

Примеры

Для двух измеримых пространств всегда существует единственная максимальная мера произведения μmax на их произведении, обладающая свойством: если μmax(A) конечно для некоторого измеримого множества A, то μmax(A) = μ(A) для любой меры произведения μ. В частности, ее значение на любом измеримом множестве не меньше значения любой другой меры произведения. Эта мера получается теоремой расширения Каратеодори. Иногда существует также единственная минимальная мера произведения μmin, заданная как μmin(S) = sup{μmax(A) : A ⊂ S, μmax(A) конечно}, где A и S предполагаются измеримыми. Вот пример, когда произведение имеет более одной меры произведения. Рассмотрим произведение X×Y, где X — единичный интервал с мерой Лебега, а Y — единичный интервал с мерой счетного множества, и все множества измеримы. Тогда для минимальной меры произведения мера множества равна сумме мер его горизонтальных сечений, а для максимальной меры произведения множество имеет бесконечную меру, если оно не содержится в объединении счетного числа множеств вида A×B, где либо A имеет меру Лебега 0, либо B — одноточечное множество. (В этом случае мера может быть конечной или бесконечной.) В частности, диагональ имеет меру 0 для минимальной меры произведения и бесконечную меру для максимальной меры произведения.