Кіріспе
Флоке теориясы – кезеңдік функциясы үздіксіз болатын кезеңді сызықтық дифференциалдық теңдеулердің шешімдер класына қатысты дифференциалдық теңдеулер теориясының бір саласы. Ол шешімдердің тұрақтылығын анықтайды. Флоке теориясының негізгі теоремасы, Флоке теоремасы, осы жалпы сызықтық жүйенің кез келген негізгі матрицалық шешімі үшін канондық түр береді. Ол кезеңдік жүйені тұрақты, нақты коэффициенттері бар стандартты сызықтық жүйеге түрлендіретін координаттардың өзгеруін ұсынады. Егер бұл теория физикалық жүйелерге, мысалы, қатты дене физикасындағы кристалдар сияқты, кезеңдік потенциалдары бар жүйелерге қолданылса, нәтижесі Блох теоремасы деп аталады. Сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімдері векторлық кеңістік құрайтынын ескеру қажет. Матрица, егер оның бағандары шешімдер жиынының негізін құраса, негізгі матрицалық шешім деп аталады. Егер матрицаның барлық бағандары сызықтық тәуелсіз шешімдер болса және оларға сәйкес бірлік матрица табылатын болса, онда ол негізгі негізгі матрицалық шешім деп аталады. Негізгі матрицадан негізгі негізгі матрицаны құрастыруға болады. Сызықтық дифференциалдық теңдеудің бастапқы шарты берілген жағдайдағы шешімі – кез келген негізгі матрицалық шешім арқылы өрнектеледі.
Floquet theory is a branch of the theory of ordinary differential equations relating to the class of solutions to periodic linear differential equations of the form
with a piecewise continuous periodic function with period and defines the state of the stability of solutions. The main theorem of Floquet theory, Floquet's theorem, due to , gives a canonical form for each fundamental matrix solution of this common linear system. It gives a coordinate change with that transforms the periodic system to a traditional linear system with constant, real coefficients. When applied to physical systems with periodic potentials, such as crystals in condensed matter physics, the result is known as Bloch's theorem. Note that the solutions of the linear differential equation form a vector space. A matrix is called a fundamental matrix solution if the columns form a basis of the solution set. A matrix is called a principal fundamental matrix solution if all columns are linearly independent solutions and there exists such that is the identity. A principal fundamental matrix can be constructed from a fundamental matrix using The solution of the linear differential equation with the initial condition is where is any fundamental matrix solution.
Салдары мен қолданылуы
Бұл бейнелеу уақытқа тәуелді координаттардың өзгеруіне алып келеді, онда біздің бастапқы жүйеміз нақты тұрақты коэффициенттері бар сызықтық жүйеге айналады. бар және үздісіз және периодты болғандықтан, ол шектеулі болуы керек. Осылайша, нөлдік шешімнің және үшін тұрақтылығы -ның өзіндік мәндерімен анықталады. бейнелеуі негізгі матрица үшін Флоке нормальды түрі деп аталады. -ның өзіндік мәндері жүйенің сипаттамалық көбейтушілері деп аталады. Олар сонымен қатар (сызықтық) Пуанкаре карталарының өзіндік мәндері болып табылады. Флоке экспонентасы (кейде сипаттамалық экспонента деп аталады) – бұл жүйенің сипаттамалық көбейтушісі болып табылатын кешенді сан. Флоке экспоненталары бірегей емес екенін ескеріңіз, себебі , мұндағы – бүтін сан. Флоке экспоненталарының нақты бөліктері Ляпунов экспоненталары деп аталады. Егер барлық Ляпунов экспоненталары теріс болса, нөлдік шешім асимптотикалық тұрақты, егер Ляпунов экспоненталары оң емес болса, Ляпунов тұрақты, ал басқа жағдайда тұрақсыз. Флоке теориясы динамикалық жүйелерді зерттеу үшін өте маңызды, мысалы, Матье теңдеуі. Флоке теориясы Хилл дифференциалдық теңдеуіндегі (Джордж Уильям Хилл енгізген) тұрақтылықты көрсетеді, ол айдың қозғалысын периодтық гравитациялық өрістегі гармоникалық осциллятор ретінде жуықтап есептейді. Күшті лазерлік өрістердегі байланыс жұмсаруы және байланыс қатаюы Флоке теоремасынан алынған шешімдер арқылы сипатталуы мүмкін. Қатты қозғалатын кванттық жүйелердің динамикасы көбінесе Флоке теориясын қолдану арқылы зерттеледі. Үстеме өткізгіш тізбектерде Флоке аясы диск-индуцирленген мультикубит өзара әрекеттесулерінің кванттық электродинамикасын түсіну үшін пайдаланылды.
The representation is called a Floquet normal form for the fundamental matrix
The eigenvalues of are called the characteristic multipliers of the system. They are also the eigenvalues of the (linear) Poincaré maps A Floquet exponent (sometimes called a characteristic exponent), is a complex such that is a characteristic multiplier of the system. Notice that Floquet exponents are not unique, since , where is an integer. The real parts of the Floquet exponents are called Lyapunov exponents. The zero solution is asymptotically stable if all Lyapunov exponents are negative, Lyapunov stable if the Lyapunov exponents are nonpositive and unstable otherwise. Floquet theory is very important for the study of dynamical systems, such as the Mathieu equation. Floquet theory shows stability in Hill differential equation (introduced by George William Hill) approximating the motion of the moon as a harmonic oscillator in a periodic gravitational field. Bond softening and bond hardening in intense laser fields can be described in terms of solutions obtained from the Floquet theorem. Dynamics of strongly driven quantum systems are often examined using Floquet theory. In superconducting circuits, Floquet framework has been leveraged to shed light on the quantum electrodynamics of drive induced multiqubit interactions.