Введение

Раздел обыкновенных дифференциальных уравнений

Теория Флоке – это раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, относящийся к классу решений периодических линейных дифференциальных уравнений вида

с кусочно-непрерывной периодической функцией с периодом , и определяющий устойчивость решений. Основная теорема теории Флоке, теорема Флоке, сформулированная , дает каноническую форму для каждой фундаментальной матричной решения этой общей линейной системы. Она предоставляет преобразование координат , которое преобразует периодическую систему в обычную линейную систему с постоянными вещественными коэффициентами. При применении к физическим системам с периодическими потенциалами, таким как кристаллы в физике конденсированного состояния, результат известен как теорема Блоха. Следует отметить, что решения линейного дифференциального уравнения образуют векторное пространство. Матрица называется фундаментальным матричным решением, если её столбцы образуют базис множества решений. Матрица называется основной фундаментальной матрицей, если все её столбцы являются линейно независимыми решениями и существует такая матрица , что . Основную фундаментальную матрицу можно построить из фундаментальной матрицы. Решение линейного дифференциального уравнения с начальным условием имеет вид , где – любая фундаментальная матрица решения.

Последствия и применение

Это отображение приводит к изменению координат, зависящему от времени, при котором исходная система становится линейной системой с вещественными постоянными коэффициентами. Поскольку оно непрерывно и периодично, оно должно быть ограничено. Таким образом, устойчивость нулевого решения для и определяется собственными значениями . Представление называется нормальной формой Флоке для фундаментальной матрицы. Собственные значения называются характеристическими множителями системы. Они также являются собственными значениями (линейных) преобразований Пуанкаре. Показатель Флоке (иногда называемый характеристическим показателем) – это комплексное число такое, что является характеристическим множителем системы. Следует отметить, что показатели Флоке не являются однозначными, поскольку , где – целое число. Вещественные части показателей Флоке называются показателями Ляпунова. Нулевое решение асимптотически устойчиво, если все показатели Ляпунова отрицательны, устойчиво, если показатели Ляпунова неположительны, и неустойчиво в противном случае. Теория Флоке имеет большое значение для изучения динамических систем, таких как уравнение Матье. Теория Флоке демонстрирует устойчивость в дифференциальном уравнении Хилла (введённом Джорджем Уильямом Хиллом), аппроксимирующем движение Луны как гармонического осциллятора в периодическом гравитационном поле. Ослабление и усиление связи в интенсивных лазерных полях можно описать с помощью решений, полученных из теоремы Флоке. Динамика сильно возбуждаемых квантовых систем часто исследуется с использованием теории Флоке. В сверхпроводящих схемах фреймворк Флоке был использован для изучения квантовой электродинамики взаимодействий мультикубитов, индуцированных внешним воздействием.