Кіріспе
Нелінейлі екінші реттік дифференциалдық теңдеу және оның аттракторы
Георг Даффингтің (1861–1944) есімімен аталған Даффинг теңдеуі (немесе Даффинг осцилляторы) – белгілі бір демпферленген және қозғалмалы осцилляторларды модельдеуге қолданылатын нелінейлі екінші реттік дифференциалдық теңдеу. Теңдеу мына түрде беріледі:
мұнда (белгісіз) функция t уақытындағы орын ауыстыруды, уақыт бойынша бірінші туындысы – жылдамдықты, ал екінші уақыт туындысы – үдеуді көрсетеді. және сандары – берілген тұрақты шамалар. Бұл теңдеу қарапайым гармоникалық қозғалысқа қарағанда күрделі потенциалы бар демпферленген осциллятордың қозғалысын сипаттайды (бұл жағдайға сәйкес келеді); физикалық тұрғыдан алғанда, ол, мысалы, серіппесінің қатаңдығы дәл Гук заңына бағынбайтын серіппелі маятникті модельдейді. Даффинг теңдеуі – хаотикалық мінез-құлық көрсететін динамикалық жүйенің мысалы. Сонымен қатар, Даффинг жүйесі жиілік жауабында жиілік гистерезисі сияқты болатын секірулі резонанс құбылысын көрсетеді.
Ерітінді әдістері
Жалпы, Даффинг теңдеуінің нақты символдық шешімі жоқ. Дегенмен, көптеген жуық әдістер жақсы жұмыс істейді: Фурье қатарына жіктеу қозғалыс теңдеуін кез келген дәлдікпен беруі мүмкін. Бұл мүше, сондай-ақ Даффинг мүшесі деп те аталады, кішкентай деп жуықтауға болады және жүйе бұзылған қарапайым гармоникалық осциллятор ретінде қарастырылады. Фробеннің әдісі күрделі, бірақ қолдануға жарамды шешім береді. Эйлер әдісі және Рунге-Кутта әдісі сияқты сандық әдістердің кез келгенін пайдалануға болады. Гомотопиялық талдау әдісі (HAM) Даффинг теңдеуінің жуық шешімдерін алу үшін, сондай-ақ күшті сызықтық емес жағдайларда да қолданылады. Демпленбеген және сыртқы күшсіз Даффинг теңдеуінің ерекше жағдайында, Якобидің эллипстік функцияларын қолдана отырып, нақты шешім алуға болады.
Expansion in a Fourier series may provide an equation of motion to arbitrary precision. The term, also called the Duffing term, can be approximated as small and the system treated as a perturbed simple harmonic oscillator. The Frobenius method yields a complex but workable solution. Any of the various numeric methods such as Euler's method and Runge–Kutta methods can be used. The homotopy analysis method (HAM) has also been reported for obtaining approximate solutions of the Duffing equation, also for strong nonlinearity. In the special case of the undamped and undriven Duffing equation, an exact solution can be obtained using Jacobi's elliptic functions.
Мысалдар
Даффинг теңдеуінің уақыт қатарлығы мен фазалық портреттерінің бірнеше типік мысалдары, кезеңді екі еселеу бифуркациясы арқылы субарманикалардың пайда болуын, сондай-ақ хаотикалық мінез-құлықты төмендегі суреттерде көрсетілген. Қозғау амплитудасы -ден -ге дейін өседі. Басқа параметрлердің мәндері: , , және . Бастапқы шарттар – және . Фазалық портреттердегі қызыл нүктелер кезеңнің толық еселігіндегі уақыттарда орналасқан .