Введение
Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка и его аттрактор
Уравнение Даффинга (или осциллятор Даффинга), названное в честь Георга Даффинга (1861–1944), является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка, используемым для моделирования определенных затухающих и вынужденных осцилляторов. Уравнение задается следующим образом:
где (неизвестная) функция – это смещение в момент времени t, – первая производная по времени, то есть скорость, а – вторая производная по времени, то есть ускорение. Числа и – заданные константы. Уравнение описывает движение затухающего осциллятора с более сложным потенциалом, чем в простом гармоническом движении (которое соответствует случаю ); в физическом смысле оно моделирует, например, эластичный маятник, жесткость пружины которого не совсем подчиняется закону Гука. Уравнение Даффинга является примером динамической системы, демонстрирующей хаотическое поведение. Более того, система Даффинга в частотной характеристике проявляет феномен скачкообразного резонанса, который представляет собой своего рода частотный гистерезис.
Способы растворения
В целом, уравнение Даффинга не имеет точного аналитического решения. Однако многие приближенные методы работают эффективно: разложение в ряд Фурье может дать уравнение движения с произвольной точностью. Член, также называемый членом Даффинга, можно приближенно считать малым, и система рассматривается как слабовозмущенный простой гармонический осциллятор. Метод Фробениуса позволяет получить сложное, но пригодное для использования решение. Можно использовать любой из различных численных методов, таких как метод Эйлера и методы Рунге — Кутты. Метод анализа гомотопии (HAM) также применялся для получения приближенных решений уравнения Даффинга, в том числе при сильной нелинейности. В частном случае незатухающего и невозбуждаемого уравнения Даффинга можно получить точное решение с использованием эллиптических функций Якоби.
Expansion in a Fourier series may provide an equation of motion to arbitrary precision. The term, also called the Duffing term, can be approximated as small and the system treated as a perturbed simple harmonic oscillator. The Frobenius method yields a complex but workable solution. Any of the various numeric methods such as Euler's method and Runge–Kutta methods can be used. The homotopy analysis method (HAM) has also been reported for obtaining approximate solutions of the Duffing equation, also for strong nonlinearity. In the special case of the undamped and undriven Duffing equation, an exact solution can be obtained using Jacobi's elliptic functions.
Примеры
На рисунках ниже представлены типичные примеры временных рядов и фазовых портретов уравнения Даффинга, демонстрирующие появление субармоник посредством бифуркации удвоения периода, а также хаотическое поведение. Амплитуда вынуждающей силы увеличивается от до . Остальные параметры имеют значения: , , и . Начальные условия заданы как и . Красные точки на фазовых портретах соответствуют моментам времени , которые являются целыми кратными периода .