Кіріспе

Коммутативтік алгебраның нәтижесі

Математикада Нотер нормалау леммасы — Эмми Нотердің 1926 жылы енгізген коммутативтік алгебраның нәтижесі болып табылады. Ол кез келген k өрісі және кез келген шекті туынды k коммутативтік алгебрасы A үшін, A-да k-ға алгебралық тәуелсіз y1, y2, ..., yd элементтерінің бар екенін көрсетеді, және A, S = k[y1, y2, ..., yd] полиномдық сақинасы бойынша шекті туынды модуль болады. d бүтін саны A сақинасының Крулл өлшеміне тең; және егер A интегралды домен болса, d сонымен қатар A-ның бөлшектер өрісінің k-ға қатысты трансценденттік дәрежесі болады.

Теореманың геометриялық интерпретациясы бар. A аффиндік X сортының координаттық сақинасы болсын, ал S d өлшемді аффиндік кеңістіктің координаттық сақинасы деп есептейік. Содан кейін кіріктіру картасы аффиндік сорттардың сюръективті шекті морфизмін тудырады: яғни, кез келген аффиндік сорт аффиндік кеңістіктің тармақталған жабыны болып табылады. k шексіз болғанда, мұндай тармақталған жапқыш картаны X-ты қамтитын аффиндік кеңістіктен d өлшемді ішкі кеңістікке жалпы проекция жасау арқылы құрастыруға болады. Көбірек айтқанда, схемалар тілінде теорема эквивалентті түрде былай тұжырымдалады: әрбір аффиндік k схемасы (шекті типтегі) X, аффиндік n өлшемді кеңістік бойынша шекті. Теореманы R идеалдарының тізбесін (еквивалентті түрде, X-тің жабық ішкі жиындарын) қосу үшін жетілдіруге болады, олар тиісті өлшемдердің аффиндік координаттық ішкі кеңістіктерінде шекті. Нотер нормалау леммасы классикалық алгебралық геометрияның ең негізгі нәтижелерінің бірі — Гилберттың Nullstellensatz-ін дәлелдеуде маңызды қадам ретінде қолданылуы мүмкін. Нормалау теоремасы k алгебралар үшін Крулл өлшемінің ұғымдарын орнатуда да маңызды құрал болып табылады.

Үлгілік қолдану: жалпы еркіндік

Нормалдану леммасының әдеттегі тривиалды емес қолданылуы – жалпы еркіндік теоремасы: Нотерлік интегралды домен құрайтын сақиналар болсын, және шекті түрде құрылған алгебра ретінде көрсетілген сақина гомоморфизмі бар делік. Онда, еркін модуль болатын белгілі бір элемент табылады. Мұны дәлелдеу үшін, сақинаның бөлшек өрісін қарастырайық. Крулл өлшемі бойынша индукциямен дәлелдейміз. Базалық жағдай – Крулл өлшемі тең болғанда, яғни, қандай да бір элемент үшін, онда модуль ретінде бос болады. Индуктивті қадам үшін, бұл шекті түрде құрылған алгебра екенін ескерейік. Сондықтан Нотер нормалдану леммасы бойынша, алгебралық тәуелсіз элементтер бар, олар полиномдық сақинаға қатысты шекті болады. Әрқайсысын сақина элементтерімен көбейту арқылы, олар сақинада жататынын қарастыра аламыз. Енді, полиномдық сақинаға қатысты шекті болмауы мүмкін, бірақ бір элементті инверсиялау арқылы шекті болады. Егер сақинаның элементі болса, онда сақина элементі ретінде, ол интегралдық болады, яғни, белгілі бір үшін, белгілі бір коэффициенттерінің барлық бөлшектерін жояды, сондықтан интегралдық болады. Сақинаның алгебра ретінде шекті көптеген генераторларын таңдап, осы байқауды әрбір генераторға қолдану арқылы, интегралдық (осылайша шекті) болатын элементтерді табамыз. оны алмастыру арқылы, полиномдық сақинаға қатысты шекті деп қарастыра аламыз. Аяқтау үшін, бірінші идеалдар үшін (мұндай сүзгілеу байланысты идеалдар теориясы бойынша бар) субмодульдер арқылы шекті сүзгілеуді қарастырайық. Әрбір i үшін, егер, индуктивті гипотеза бойынша, модуль ретінде бос, ал полиномдық сақина ретінде бос болатын элементті таңдай аламыз. Осылайша, модуль бос.