Введение
Результаты коммутативной алгебры
В математике лемма нормализации Нетер является результатом коммутативной алгебры, введенной Эмми Нетер в 1926 году. Она утверждает, что для любого поля k и любой конечно порожденной коммутативной k-алгебры A существуют элементы y1, y2, ..., yd в A, которые алгебраически независимы над k, и такие, что A является конечно порожденным модулем над кольцом многочленов S = k[y1, y2, ..., yd]. Целое число d равно размерности Крулла кольца A; и если A является целостным доменом, то d также является степенью трансцендентности поля частных A над k.
Теорема имеет геометрическую интерпретацию. Предположим, что A является координатным кольцом аффинного многообразия X, и рассмотрим S как координатное кольцо d-мерного аффинного пространства. Тогда отображение включения индуцирует сюръективный конечный морфизм аффинных многообразий: то есть любое аффинное многообразие является разветвленным покрытием аффинного пространства. Когда k бесконечно, такое разветвленное покрытие можно построить, взяв общую проекцию из аффинного пространства, содержащего X, в d-мерное подпространство. В более общем плане, на языке схем, теорему можно эквивалентно сформулировать так: каждая аффинная k-схема (конечного типа) X является конечной над аффинным n-мерным пространством. Теорему можно уточнить, включив в нее цепочку идеалов R (эквивалентно, замкнутых подмножеств X), которые конечны над аффинными координатным подпространствами соответствующих размерностей. Лемма нормализации Нетер может быть использована в качестве важного шага в доказательстве теоремы Гильберта о нулях, одного из самых фундаментальных результатов классической алгебраической геометрии. Теорема нормализации также является важным инструментом для установления понятия размерности Крулла для k-алгебр.
Примерное применение: общая свобода
Типичным нетривиальным применением леммы нормализации является теорема об общей свободе: пусть — кольца, такие что — нётерово целостное кольцо, и предположим, что существует гомоморфизм колец , представляющий как конечно порожденную алгебру над . Тогда существует такое , что — свободный -модуль. Для доказательства этого пусть — поле частных кольца . Будем рассуждать по индукции на размерности Крулла кольца . База индукции — случай, когда размерность Крулла равна 0, то есть, когда существует такой элемент , что , так что свободен как -модуль. Для индуктивного перехода заметим, что — конечно порожденная -алгебра. Следовательно, по лемме нормализации Ноэтера, содержит алгебраически независимые элементы такие, что конечно над кольцом многочленов . Умножая каждый на элементы из , мы можем предположить, что принадлежат . Теперь рассмотрим:
Теперь может быть не конечным над , но он станет конечным после инвертирования одного элемента следующим образом. Если — элемент из , то, как элемент из , он является целым над ; то есть, для некоторых из . Таким образом, некоторый элемент уничтожает все знаменатели коэффициентов и, следовательно, является целым над . Выбирая некоторое конечное множество порождающих как -алгебру и применяя это наблюдение к каждому порождающему, мы находим некоторое такое, что является целым (и, следовательно, конечным) над . Заменим на и тогда мы можем предположить, что конечен над . Чтобы завершить доказательство, рассмотрим конечную фильтрацию по -подмодулям, такую что для простых идеалов (такая фильтрация существует по теории присоединенных простых идеалов). Для каждого i, если , то по индуктивной гипотезе мы можем выбрать некоторое из такое, что свободен как -модуль, в то время как является многочленным кольцом и, следовательно, свободным. Следовательно, с , — свободный модуль над .