Кіріспе
Алгебралық құрылымның нақты элементі. Математикада, екілік амалдың сәйкес элементі немесе бейтарап элементі – амал қолданылғанда кез келген элементті өзгеріссіз қалдыратын элемент. Мысалы, 0 – нақты сандарды қосу амалының сәйкес элементі. Бұл түсінік топтар мен сақиналар сияқты алгебралық құрылымдарда қолданылады. Сәйкес элемент термині көбінесе шатасу мүмкіндігі болмаған жағдайда сәйкестікке дейін қысқартылады (мысалы, қосымша сәйкестік және көбейту сәйкестігі), бірақ сәйкестік нақтылы екілік амалға байланысты болады.
In mathematics, an identity element or neutral element of a binary operation is an element that leaves unchanged every element when the operation is applied. For example, 0 is an identity element of the addition of real numbers. This concept is used in algebraic structures such as groups and rings. The term identity element is often shortened to identity (as in the case of additive identity and multiplicative identity) when there is no possibility of confusion, but the identity implicitly depends on the binary operation it is associated with.
Анықтамалар
(S, ∗) жиыны болсын, онда ∗ – бинарлық операция. Онда S жиынының e элемені, егер S жиынындағы барлық s үшін 1 = e ∗ s = s орындалса, сол жақ сәйкестік элементі деп аталады, ал егер 1 = s ∗ e = s орындалса, оң жақ сәйкестік элементі деп аталады. Егер e бір мезгілде сол жақ және оң жақ сәйкестік болса, онда ол екі жақты сәйкестік немесе жай ғана сәйкестік деп аталады. Қосылғандағы сәйкестік – қосу сәйкестігі (көбінесе 0 деп белгіленеді), ал көбейтілгендегі сәйкестік – көбейту сәйкестігі (көбінесе 1 деп белгіленеді) деп аталады. Оны сақина теориясындағы бірлікпен шатастырмау керек, ол – көбейтуге кері элементі бар кез келген элемент. Өзінің анықтамасы бойынша, бірлік өзі де бірлік болып табылады.
Қасиеттері
S = {e,f} мысалында берілген теңдіктермен S жартылай топ болып табылады. Бұл (S, ∗) бірнеше сол жақ сәйкестіктерге ие болу мүмкіндігін көрсетеді. Шын мәнінде, кез келген элемент сол жақ сәйкестік бола алады. Сол сияқты, бірнеше оң жақ сәйкестік болуы мүмкін. Бірақ егер оң жақ және сол жақ сәйкестіктердің екеуі де болса, онда олар тең болуы керек, нәтижесінде бір ғана екі жақты сәйкестік пайда болады. Мұны мыналай көруге болады: егер l сол жақ сәйкестік болса және r оң жақ сәйкестік болса, онда 1=l = l ∗ r = r. Атап айтқанда, екі жақты сәйкестік бірден көп болмайды: егер екеуі болса, мысалы, e және f, онда e ∗ f екеуіне де тең болуы керек – e және f. (S, ∗) сәйкестік элементіне ие болмауы да мүмкін, мысалы, көбейту операциясы бойынша жұп сандар. Тағы бір кең таралған мысал – векторлардың векторлық көбейтіндісі, онда сәйкестік элементінің болмауы кез келген нөлдік емес векторлық көбейтіндінің бағыты көбейтілген кез келген элементке қатысты әрқашан перпендикуляр болуымен байланысты. Яғни, бастапқы вектордың бағытында нөлдік емес вектор алу мүмкін емес. Сәйкестік элементі жоқ құрылымның тағы бір мысалы – оң жаратылыс сандарының қосымша жартылай тобы.
It is also quite possible for (S, ∗) to have no identity element, such as the case of even integers under the multiplication operation. Another common example is the cross product of vectors, where the absence of an identity element is related to the fact that the direction of any nonzero cross product is always orthogonal to any element multiplied. That is, it is not possible to obtain a non zero vector in the same direction as the original. Yet another example of structure without identity element involves the additive semigroup of positive natural numbers.