Введение
Специфический элемент алгебраической структуры. В математике тождественный элемент или нейтральный элемент бинарной операции — это элемент, который не изменяет ни один элемент при применении к нему данной операции. Например, 0 является тождественным элементом для сложения вещественных чисел. Эта концепция используется в алгебраических структурах, таких как группы и кольца. Термин «тождественный элемент» часто сокращается до «тождество» (например, аддитивное тождество и мультипликативное тождество), когда это не приводит к путанице, однако тождество неявно зависит от бинарной операции, с которой оно связано.
In mathematics, an identity element or neutral element of a binary operation is an element that leaves unchanged every element when the operation is applied. For example, 0 is an identity element of the addition of real numbers. This concept is used in algebraic structures such as groups and rings. The term identity element is often shortened to identity (as in the case of additive identity and multiplicative identity) when there is no possibility of confusion, but the identity implicitly depends on the binary operation it is associated with.
Определения
Пусть (S, ∗) — множество S, снабженное бинарной операцией ∗. Тогда элемент e из S называется левым элементом нейтрали, если e ∗ s = s для всех s из S, и правым элементом нейтрали, если s ∗ e = s для всех s из S. Если e является одновременно и левым, и правым элементом нейтрали, то он называется двусторонним элементом нейтрали, или просто элементом нейтрали. Элемент нейтрали по отношению к сложению называется аддитивным элементом нейтрали (часто обозначается как 0), а элемент нейтрали по отношению к умножению называется мультипликативным элементом нейтрали (часто обозначается как 1). Это не следует путать с единицей в теории колец, которая является любым элементом, имеющим мультипликативный обратный элемент. По определению, сама единица (1) обязательно является единицей в теории колец.
Свойства
В примере S = {e,f} с данными равенствами, S является полугруппой. Это демонстрирует возможность для (S, ∗) иметь несколько левых тождеств. Фактически, каждый элемент может быть левым тождеством. Аналогичным образом, может быть несколько правых тождеств. Но если есть и правое, и левое тождество, то они должны быть равны, в результате чего получается единственное двустороннее тождество. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что если l – левое тождество, а r – правое тождество, то 1 = l = l ∗ r = r. В частности, не может быть более одного двустороннего тождества: если бы было два, скажем, e и f, то e ∗ f должно было бы быть равно и e, и f. Также вполне возможно, что (S, ∗) не имеет элемента тождества, например, в случае четных целых чисел относительно операции умножения. Другим распространенным примером является векторное произведение векторов, где отсутствие элемента тождества связано с тем, что направление любого ненулевого векторного произведения всегда ортогонально любому сомножителю. То есть, невозможно получить ненулевой вектор в том же направлении, что и исходный. Еще один пример структуры без элемента тождества – аддитивная полугруппа положительных натуральных чисел.
It is also quite possible for (S, ∗) to have no identity element, such as the case of even integers under the multiplication operation. Another common example is the cross product of vectors, where the absence of an identity element is related to the fact that the direction of any nonzero cross product is always orthogonal to any element multiplied. That is, it is not possible to obtain a non zero vector in the same direction as the original. Yet another example of structure without identity element involves the additive semigroup of positive natural numbers.