Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада модульдік схема — Александр Гротендик әзірлеген схемалар санатындағы модульдік кеңістік. Алгебралық геометрияның кейбір маңызды модульдік есептері схемалар теориясының өзі арқылы қанағаттанарлық түрде шешіле алады, ал қалғандары үшін «геометриялық объекті» түсінігін кеңейту қажет (алгебралық кеңістіктер, Майкл Артиннің алгебралық стектері).
In mathematics, a moduli scheme is a moduli space that exists in the category of schemes developed by Alexander Grothendieck. Some important moduli problems of algebraic geometry can be satisfactorily solved by means of scheme theory alone, while others require some extension of the 'geometric object' concept (algebraic spaces, algebraic stacks of Michael Artin).
Тарих
Гротендик пен Дэвид Мамфордтың жұмыстары (геометриялық инвариант теориясын қараңыз) бұл саланы 1960 жылдардың басында ашты. Модульдік мәселелерге алгебралық және абстрактілірек тәсіл – оларды бейнеленетін функтор ретінде қою, содан кейін схемалар үшін бейнеленетін функторларды бөліп көрсететін критерийді қолдану. Бұл бағдарламалық тәсіл жұмыс істегенде, нәтижесі – нақты модульдер схемасы. Геометриялық идеялардың ықпалымен, дұрыс геометриялық нүктелерді беретін схеманы табу жеткілікті. Бұл классикалық идеяға жақын, модульдік мәселе – жиынтықпен (мысалы, эллиптік қисықтардың изоморфизм кластары) табиғи түрде келетін алгебралық құрылымды беру. Нәтижесінде жуан модульдер схемасы пайда болады. Оның жетілмегендігі, шамамен айтқанда, нысандар отбасы үшін нақты модульдер схемасына тән қасиеттерді кепілдемейді. Мамфорд өзінің "Геометриялық инвариант теориясы" кітабында атап өткендей, адам нақты нұсқаны қалауы мүмкін, бірақ мұндай жауап алуға мүмкіндік беретін сұрақ алу үшін техникалық мәселелер (деңгейлік құрылым және басқа да "белгілер") шешілуі керек. Терухиса Мацусака қазір Мацусаканың үлкен теоремасы деп аталатын нәтижені дәлелдеді, ол жуан модульдер схемасының болуы үшін модульдік мәселенің қажетті шартын белгілейді.
Work of Grothendieck and David Mumford (see geometric invariant theory) opened up this area in the early 1960s. The more algebraic and abstract approach to moduli problems is to set them up as a representable functor question, then apply a criterion that singles out the representable functors for schemes. When this programmatic approach works, the result is a fine moduli scheme. Under the influence of more geometric ideas, it suffices to find a scheme that gives the correct geometric points. This is more like the classical idea that the moduli problem is to express the algebraic structure naturally coming with a set (say of isomorphism classes of elliptic curves). The result is then a coarse moduli scheme. Its lack of refinement is, roughly speaking, that it doesn't guarantee for families of objects what is inherent in the fine moduli scheme. As Mumford pointed out in his book Geometric Invariant Theory, one might want to have the fine version, but there is a technical issue (level structure and other 'markings') that must be addressed to get a question with a chance of having such an answer. Teruhisa Matsusaka proved a result, now known as Matsusaka's big theorem, establishing a necessary condition on a moduli problem for the existence of a coarse moduli scheme.
Мысалдар
Мэмфорд g > 1 болса, g туысының тегіс қисықтарының ірі модульдік схемасы бар екенін дәлелдеді, ол квазипроективті. Жанош Коллардың соңғы шолуынша, оның "математика мен теориялық физиканың көптеген салаларындағы маңызды мәселелермен байланысты бай әрі қызықты ішкі геометриясы бар". Браунгардт алгебралық сандар өрісіндегі жоғары өлшемді алгебралық сорттарға Белий теоремасын жалпылауға бола ма деген сұрақ қойды, олардың тұжырымдамасы бойынша, олар қисықтардың модульдік кеңістігінің шекті эталь жабынына бирационал болып табылады. Тұрақты векторлық шоғыр ұғымын қолдана отырып, кез келген тегіс комплекс сортындағы векторлық шоғырлар үшін дөрекі модульдік схемалардың бар екені және квазипроективті екені көрсетілді: бұл тұжырымда жартылай тұрақтылық ұғымы қолданылады. Математикалық физикадағы ерекше инстантондық шоғырлардың дөрекі модульдік кеңістігін кейбір жағдайларда коникалардың классикалық геометриясындағы объектілермен сәйкестендіруге болады.
Mumford proved that if g > 1, there exists a coarse moduli scheme of smooth curves of genus g, which is quasi projective. According to a recent survey by János Kollár, it "has a rich and intriguing intrinsic geometry which is related to major questions in many branches of mathematics and theoretical physics." Braungardt has posed the question whether Belyi's theorem can be generalised to varieties of higher dimension over the field of algebraic numbers, with the formulation that they are generally birational to a finite étale covering of a moduli space of curves. Using the notion of stable vector bundle, coarse moduli schemes for the vector bundles on any smooth complex variety have been shown to exist, and to be quasi projective: the statement uses the concept of semistability. It is possible to identify the coarse moduli space of special instanton bundles, in mathematical physics, with objects in the classical geometry of conics, in certain cases.