Схемы модулей в математике: определение, история развития (Гротендик, Мамфорд) и применение в алгебраической геометрии. Представимые функторы и тонкие схемы.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике модульная схема — это модульное пространство, существующее в категории схем, разработанной Александром Гротендиком. Некоторые важные задачи теории модулей в алгебраической геометрии могут быть удовлетворительно решены исключительно средствами теории схем, в то время как для решения других требуется расширение понятия "геометрического объекта" (алгебраические пространства, алгебраические стеки Майкла Артина).
In mathematics, a moduli scheme is a moduli space that exists in the category of schemes developed by Alexander Grothendieck. Some important moduli problems of algebraic geometry can be satisfactorily solved by means of scheme theory alone, while others require some extension of the 'geometric object' concept (algebraic spaces, algebraic stacks of Michael Artin).
История
Работа Гротендика и Дэвида Мамфорда (см. геометрическую теорию инвариантов) открыла эту область в начале 1960-х годов. Более алгебраический и абстрактный подход к задачам модулей состоит в формулировке их как вопроса о представимом функторе, а затем применении критерия, выделяющего представимые функторы для схем. Когда этот программный подход срабатывает, результатом является тонкая схема модулей. Под влиянием более геометрических идей достаточно найти схему, которая дает правильные геометрические точки. Это ближе к классическому пониманию задачи модулей как способа выразить алгебраическую структуру, естественным образом связанную с множеством (например, с классами изоморфизма эллиптических кривых). В результате получается грубая схема модулей. Её недостаток в том, что она, грубо говоря, не гарантирует для семейств объектов то, что присуще тонкой схеме модулей. Как указал Мамфорд в своей книге «Геометрическая теория инвариантов», желательно иметь тонкую версию, но существует техническая проблема (структура уровней и другие «маркировки»), которую необходимо решить, чтобы сформулировать вопрос, для которого существует шанс получить такой ответ. Терухиса Мацусака доказал результат, ныне известный как большая теорема Мацусаки, устанавливающий необходимое условие для задачи модулей, чтобы существовала грубая схема модулей.
Work of Grothendieck and David Mumford (see geometric invariant theory) opened up this area in the early 1960s. The more algebraic and abstract approach to moduli problems is to set them up as a representable functor question, then apply a criterion that singles out the representable functors for schemes. When this programmatic approach works, the result is a fine moduli scheme. Under the influence of more geometric ideas, it suffices to find a scheme that gives the correct geometric points. This is more like the classical idea that the moduli problem is to express the algebraic structure naturally coming with a set (say of isomorphism classes of elliptic curves). The result is then a coarse moduli scheme. Its lack of refinement is, roughly speaking, that it doesn't guarantee for families of objects what is inherent in the fine moduli scheme. As Mumford pointed out in his book Geometric Invariant Theory, one might want to have the fine version, but there is a technical issue (level structure and other 'markings') that must be addressed to get a question with a chance of having such an answer. Teruhisa Matsusaka proved a result, now known as Matsusaka's big theorem, establishing a necessary condition on a moduli problem for the existence of a coarse moduli scheme.
Примеры
Мамфорд доказал, что если g > 1, существует грубая схема модулей гладких кривых рода g, которая квазипроективна. Согласно недавнему обзору Яноша Коллара, она "обладает богатой и увлекательной внутренней геометрией, связанной с ключевыми вопросами во многих областях математики и теоретической физики". Браунггардт задался вопросом, можно ли обобщить теорему Белого на многообразия более высокой размерности над полем алгебраических чисел, сформулировав это так, что они обычно бирациональны конечному этальному расслоению над модульным пространством кривых. С использованием понятия стабильного векторного расслоения было показано существование грубых схем модулей для векторных расслоений на любом гладком комплексном многообразии, и что они квазипроективны: в этом утверждении используется понятие полустабильности. В математической физике в некоторых случаях возможно отождествить грубое модульное пространство специальных инстантных расслоений с объектами в классической геометрии конических сечений.
Mumford proved that if g > 1, there exists a coarse moduli scheme of smooth curves of genus g, which is quasi projective. According to a recent survey by János Kollár, it "has a rich and intriguing intrinsic geometry which is related to major questions in many branches of mathematics and theoretical physics." Braungardt has posed the question whether Belyi's theorem can be generalised to varieties of higher dimension over the field of algebraic numbers, with the formulation that they are generally birational to a finite étale covering of a moduli space of curves. Using the notion of stable vector bundle, coarse moduli schemes for the vector bundles on any smooth complex variety have been shown to exist, and to be quasi projective: the statement uses the concept of semistability. It is possible to identify the coarse moduli space of special instanton bundles, in mathematical physics, with objects in the classical geometry of conics, in certain cases.