Кіріспе
Кейли-Бахарах теоремасы – математикада проективті жазықтықтағы кубикалық қисықтар (үшінші дәрежелі жазық қисықтары) туралы мәлімдеме. Бастапқы түрі былай делінеді:
In mathematics, the Cayley–Bacharach theorem is a statement about cubic curves (plane curves of degree three) in the projective plane 'P'^(2). The original form states:
Assume that two cubics C1 and C2 in the projective plane meet in nine (different) points, as they do in general over an algebraically closed field. Then every cubic that passes through any eight of the points also passes through the ninth point. A more intrinsic form of the Cayley–Bacharach theorem reads as follows:
Every cubic curve C over an algebraically closed field that passes through a given set of eight points P1, , P8 also passes through (counting multiplicities) a ninth point P9 which depends only on P1, , P8. A related result on conics was first proved by the French geometer Michel Chasles and later generalized to cubics by Arthur Cayley and Isaak Bacharach.
Проективті жазықтықтағы C1 және C2 екі кубикасы алгебралық жабық өрісте жалпы жағдайда тоғыз (әртүрлі) нүктеде қиылысады деп есептейік. Онда кез келген сегіз нүктеден өтетін кез келген кубика тоғызыншы нүктеден де өтеді. Кейли-Бахарах теоремасының тағы бір түрі былай оқылады:
In mathematics, the Cayley–Bacharach theorem is a statement about cubic curves (plane curves of degree three) in the projective plane 'P'^(2). The original form states:
Assume that two cubics C1 and C2 in the projective plane meet in nine (different) points, as they do in general over an algebraically closed field. Then every cubic that passes through any eight of the points also passes through the ninth point. A more intrinsic form of the Cayley–Bacharach theorem reads as follows:
Every cubic curve C over an algebraically closed field that passes through a given set of eight points P1, , P8 also passes through (counting multiplicities) a ninth point P9 which depends only on P1, , P8. A related result on conics was first proved by the French geometer Michel Chasles and later generalized to cubics by Arthur Cayley and Isaak Bacharach.
Алгебралық жабық өрістегі P1, ..., P8 нүктелерінің берілген жиынтығынан өтетін кез келген кубикалық қисық C, сондай-ақ (көптіліктері ескеріле отырып) тоғызыншы нүкте P9 арқылы өтеді, ол тек P1, ..., P8 нүктелеріне ғана тәуелді. Коникаларға қатысты туындас нәтижені алғаш француз геометрі Мишель Шаслес дәлелдеген, ал кейіннен Артур Кейли мен Исаак Бахарах оны кубикаларға жалпылаған.
In mathematics, the Cayley–Bacharach theorem is a statement about cubic curves (plane curves of degree three) in the projective plane 'P'^(2). The original form states:
Assume that two cubics C1 and C2 in the projective plane meet in nine (different) points, as they do in general over an algebraically closed field. Then every cubic that passes through any eight of the points also passes through the ninth point. A more intrinsic form of the Cayley–Bacharach theorem reads as follows:
Every cubic curve C over an algebraically closed field that passes through a given set of eight points P1, , P8 also passes through (counting multiplicities) a ninth point P9 which depends only on P1, , P8. A related result on conics was first proved by the French geometer Michel Chasles and later generalized to cubics by Arthur Cayley and Isaak Bacharach.
Егжей-тегжейлер
Егер P1, …, P8 нүктелерінің жетісі коникаға жатса, онда тоғызыншы нүктені сол коника бойынша таңдауға болады, себебі C Безу теоремасы бойынша әрқашан толық кониканы қамтиды. Басқа жағдайларда, келесілерді аламыз. Егер P1, …, P8 ішіндегі жеті нүкте коконикалық болмаса, онда P1, …, P8 (қос нүктелер үшін көбейістікпен) аффиндік конустарда нөлге тең болатын кубтық гомогенді полиномиалдардың векторлық кеңістігі екі өлшемді болады. Бұл жағдайда, P1, …, P8 арқылы өтетін әрбір кубика, P1, …, P8 арқылы өтетін кез келген екі түрлі кубиканың қиылысы арқылы да өтеді, ол Безу теоремасы бойынша кем дегенде тоғыз нүктеден (алгебралық жабылу бойынша) тұрады. Бұл нүктелерді P1, …, P8 ғана қамти алмайды, демек P9 пайда болады. Дегенеративті коникалар ең көп дегенде екі түзудің бірігуі болғандықтан, дегенеративті коникада жеті нүктеден төрт нүкте бір түзуде жатады. Осыған сәйкес: егер P1, …, P8-ден жеті нүкте дегенерацияланбаған коникада жатпаса және P1, …, P8-ден төрт нүкте де түзуде жатпаса, онда P1, …, P8-дің аффиндік конустарында нөлге тең болатын кубтық гомогенді полиномиалдардың векторлық кеңістігі екі өлшемді болады. Екінші жағынан, егер P1, P2, P3, P4 түзуде жатса және P1, …, P8 нүктелерінің жетісі коконикалық болмаса, онда P1, …, P8-дің бес нүктесі де, P5, P6, P7, P8-дің үш нүктесі де түзуде жатпайды. C Безу теоремасы бойынша P1, P2, P3, P4 түзуін әрқашан қамтитындықтан, P1, …, P8 (аффиндік конустарда) нөлге тең болатын кубтық гомогенді полиномиалдардың векторлық кеңістігі, P5, P6, P7, P8 (аффиндік конустарда) нөлге тең болатын квадраттық гомогенді полиномиалдардың векторлық кеңістігіне изоморфты, ол екі өлшемді. Екі өлшемді нәтижелерге қатысты шарттар жиынтығы әртүрлі болғанымен, олар толыққанды жалпы жағдайдан қатаң түрде нашар: үш нүкте түзуде болуы мүмкін, ал алты нүкте коникада жатуы мүмкін (жалпы алғанда, екі нүкте түзуді, ал бес нүкте кониканы анықтайды). Кейли-Бахарах теоремасы үшін тоғыз нүкте арқылы өтетін кубикалардың отбасы болуы қажет, жалғыз кубика емес. Безу теоремасы бойынша, алгебралық жабық өрісте ортақ азайтылмайтын компоненті жоқ екі түрлі кубтық қисық дәл тоғыз нүктеде қиылысады (көптік ескеріледі). Осылайша, Кейли-Бахарах теоремасы, егер сегіз қиылысу нүктесі (жеті коконикалық емес) бұрыннан белгіленген болса, қисықтар отбасындағы кез келген екі мүшенің қиылысуының соңғы нүктесі өзгермейді деп мәлімдейді.
If no seven points out of P1, , P8 lie on a non degenerate conic, and no four points out of P1, , P8 lie on a line, then the vector space of cubic homogeneous polynomials that vanish on (the affine cones of) P1, , P8 has dimension two. On the other hand, assume P1, P2, P3, P4 are collinear and no seven points out of P1, , P8 are co conic. Then no five points of P1, , P8 and no three points of P5, P6, P7, P8 are collinear. Since C will always contain the whole line through P1, P2, P3, P4 on account of Bézout's theorem, the vector space of cubic homogeneous polynomials that vanish on (the affine cones of) P1, , P8 is isomorphic to the vector space of quadratic homogeneous polynomials that vanish (the affine cones of) P5, P6, P7, P8, which has dimension two. Although the sets of conditions for both dimension two results are different, they are both strictly weaker than full general positions: three points are allowed to be collinear, and six points are allowed to lie on a conic (in general two points determine a line and five points determine a conic). For the Cayley–Bacharach theorem, it is necessary to have a family of cubics passing through the nine points, rather than a single one. According to Bézout's theorem, two different cubic curves over an algebraically closed field which have no common irreducible component meet in exactly nine points (counted with multiplicity). The Cayley–Bacharach theorem thus asserts that the last point of intersection of any two members in the family of curves does not move if eight intersection points (without seven co conic ones) are already prescribed.
Қолданбалар
Паскаль теоремасы – ерекше жағдай, онда қарастырылып отырған екі кубика да дегенеративті болады: коникада (алтыбұрыш) алты нүкте берілген болса, қарама-қарсы қабырғаларын түзу сызықтармен ұзарту арқылы алынған сызықтарды қарастырыңыз. Бұл әрқайсысы үш сызықтан тұратын екі кубиканы тудырады, олар 9 нүктеде қиылысады – коникадағы 6 нүкте және 3 басқа нүкте. Бұл 3 қосымша нүкте бір түзуде жатады, себебі коника және кез келген екі нүкте арқылы өтетін түзу – бұл 8 нүкте арқылы өтетін кубика. Екінші қолданылуы – Паппустың алтыбұрыш теоремасы, жоғарыда айтылғанға ұқсас, бірақ алты нүкте кониканың орнына екі түзуде орналасқан. Соңында, эллиптік қисықтар нүктелерін қосудың ассоциативтілігін дәлелдеу үшін үшінші жағдай табылды. Бірінші кубика BC, O(A+B) және A(B+C) үш түзуін қамтысын; ал екінші кубика AB, O(B+C) және C(A+B) үш түзуін қамтысын. Екі кубикада да келесі сегіз нүкте ортақ: A, B, C, A+B, AB, B+C, BC, O. Демек, олардың тоғызыншы нүктесі бірдей болуы керек: A(B+C) = (A+B)C, бұл ассоциативтілікті қамтамасыз етеді.
Өлшемін есептеу
Кейли-Бахарак теоремасын және оның 3-дәрежеде пайда болу себебін өлшемді есептеу арқылы түсінуге болады. Қарапайым түсіндіргенде, тоғыз нүкте кубты анықтайды, бірақ жалпы жағдайда бірегей кубты анықтайды. Сондықтан, егер тоғыз нүкте бірнеше кубта жатса, яғни екі кубтың қиылысында (а), онда олар жалпы орналасқан емес – олар бір өлшеммен артық анықталған, демек, олар арқылы өтетін кубтар бір қосымша шектеуді қанағаттандырады, бұл "сегіз тоғызды білдіреді" қасиетінде көрінеді. Бұл жалпы құбылыс супербағана деп аталады; беттер үшін Риман-Рох теоремасын қараңыз.