Введение
Заявление о кубических кривых в проективной плоскости
В математике теорема Кейли — Бакараха является утверждением о кубических кривых (плоскостных кривых третьей степени) в проективной плоскости P² . Оригинальная формулировка гласит:
Предположим, что две кубические кривые C₁ и C₂ в проективной плоскости пересекаются в девяти различных точках, как это обычно происходит над алгебраически замкнутым полем. Тогда любая кубическая кривая, проходящая через любые восемь из этих точек, также проходит через девятую точку. Более внутренняя формулировка теоремы Кейли — Бакараха выглядит следующим образом:
Любая кубическая кривая C над алгебраически замкнутым полем, проходящая через заданный набор из восьми точек P₁, …, P₈, также проходит через (с учетом кратности) девятую точку P₉, которая зависит только от P₁, …, P₈. Связанный результат для конических сечений был впервые доказан французским геометром Мишелем Шалем, а затем обобщен на кубические кривые Артуром Кейли и Исааком Бакарахом.
Подробности
Если семь точек P1, …, P8 лежат на коническом сечении, то девятая точка может быть выбрана на этом сечении, поскольку C всегда будет содержать все коническое сечение в силу теоремы Безу. В остальных случаях имеем следующее. Если никакие семь точек из P1, …, P8 не лежат на коническом сечении, то векторное пространство кубических однородных многочленов, обращающихся в нуль на (аффинных конусах) в точках P1, …, P8 (с учетом кратности для двойных точек), имеет размерность два. В этом случае любая кубическая кривая, проходящая через P1, …, P8, также проходит через точку пересечения любых двух различных кубических кривых, проходящих через P1, …, P8, которая содержит не менее девяти точек (над алгебраически замкнутым полем) в силу теоремы Безу. Эти точки не могут быть покрыты только точками P1, …, P8, что и дает нам P9. Поскольку вырожденные конические сечения представляют собой объединение не более двух прямых, всегда найдется четыре из семи точек на вырожденном коническом сечении, лежащие на одной прямой. Следовательно:
Если никакие семь точек из P1, …, P8 не лежат на невырожденном коническом сечении и никакие четыре точки из P1, …, P8 не лежат на одной прямой, то векторное пространство кубических однородных многочленов, обращающихся в нуль на (аффинных конусах) в точках P1, …, P8, имеет размерность два. С другой стороны, предположим, что точки P1, P2, P3, P4 лежат на одной прямой и никакие семь точек из P1, …, P8 не лежат на коническом сечении. Тогда ни пять точек из P1, …, P8 и ни три точки из P5, P6, P7, P8 не лежат на одной прямой. Поскольку C всегда будет содержать всю прямую, проходящую через P1, P2, P3, P4, в силу теоремы Безу, векторное пространство кубических однородных многочленов, обращающихся в нуль на (аффинных конусах) в точках P1, …, P8, изоморфно векторному пространству квадратичных однородных многочленов, обращающихся в нуль на (аффинных конусах) в точках P5, P6, P7, P8, которое имеет размерность два. Хотя наборы условий для обоих результатов размерности два различны, они оба строго слабее, чем общее положение: допускается, чтобы три точки были коллинеарны, а шесть точек лежали на коническом сечении (в общем случае две точки определяют прямую, а пять точек определяют коническое сечение). Для теоремы Кейли — Бакараха необходимо семейство кубических кривых, проходящих через девять точек, а не единственная кривая. Согласно теореме Безу, две различные кубические кривые над алгебраически замкнутым полем, не имеющие общих неприводимых компонент, пересекаются ровно в девяти точках (с учетом кратности). Таким образом, теорема Кейли — Бакараха утверждает, что последняя точка пересечения любых двух кривых из семейства не перемещается, если уже заданы восемь точек пересечения (без семи точек, лежащих на коническом сечении).
Приложения
Особым случаем является теорема Паскаля, в котором оба рассматриваемых кубических уравнения являются вырожденными: заданы шесть точек на коническом сечении (шестиугольнике). Рассмотрим линии, полученные продолжением противоположных сторон – это дает два кубических уравнения, каждое из которых задано тремя линиями, которые пересекаются в 9 точках – 6 точках на коническом сечении и 3 других. Эти 3 дополнительные точки лежат на одной прямой, поскольку коническое сечение и прямая, проходящая через любые две точки, образуют кубическое уравнение, проходящее через 8 точек. Второе применение – теорема Паппуса о шестиугольнике, аналогичная предыдущей, но шесть точек лежат на двух прямых, а не на коническом сечении. Наконец, третий случай используется для доказательства ассоциативности сложения точек на эллиптической кривой. Пусть первое кубическое уравнение содержит три линии BC, O(A+B) и A(B+C), а второе кубическое уравнение содержит три линии AB, O(B+C) и C(A+B). Следующие восемь точек являются общими для обоих кубических уравнений: A, B, C, A+B, AB, B+C, BC, O. Следовательно, их девятая точка должна быть одинаковой: A(B+C) = (A+B)C, что и доказывает ассоциативность.
Подсчет измерений
Можно понять теорему Кейли-Бакараха и то, почему она возникает при степени 3, с помощью подсчета размерностей. Если говорить простыми словами, девять точек определяют кубическую кривую, но в общем случае определяют единственную кубическую кривую. Следовательно, если девять точек лежат на более чем одной кубической кривой, что эквивалентно их лежанию на пересечении двух кубических кривых (как ), то они не находятся в общем положении – они переопределены на одну размерность – и, таким образом, кубические кривые, проходящие через них, удовлетворяют одному дополнительному условию, что и отражено в свойстве "восемь влечет девять". Общее явление называется сверхизбыточностью; подробнее см. теорему Римана-Роха для поверхностей.