Кіріспе
Кез келген жабық дөңгелек жазықтық қисықтың орташа қисықтығын анықтайтын геометриядағы ұғым. Дифференциалдық геометрияда Фенхель теоремасы – жабық тегіс кеңістіктегі қисықтың жалпы абсолюттік қисықтығына қатысты теңсіздік, ол әрқашан кем дегенде тең болады. Орташа қисықтық кем дегенде , мұндағы – қисықтың ұзындығы. Осы типтегі қисықтардың арасында жалпы абсолюттік қисықтығы -қа тең және орташа қисықтығы -қа тең болатындары – жазық дөңгелек қисықтар ғана. Теорема 1929 жылы жариялаған Вернер Фенхельдің есімімен аталған. Фенхель теоремасы Фэри-Милнор теоремасымен толықтырылады, ол егер жабық тегіс қарапайым кеңістіктегі қисық тривиальды емес түйін құраса, онда жалпы абсолюттік қисықтық 4π-ден артық болады.
the concept in geometry
In differential geometry, Fenchel's theorem is an inequality on the total absolute curvature of a closed smooth space curve, stating that it is always at least Equivalently, the average curvature is at least , where is the length of the curve. The only curves of this type whose total absolute curvature equals and whose average curvature equals are the plane convex curves. The theorem is named after Werner Fenchel, who published it in 1929. The Fenchel theorem is enhanced by the Fáry–Milnor theorem, which says that if a closed smooth simple space curve is nontrivially knotted, then the total absolute curvature is greater than 4π.
Дәлел
Бірлік жылдамдықпен берілген жабық тегіс қисық үшін, жылдамдық та жабық тегіс қисық болады. Жалпы абсолютті қисықтығы – оның ұзындығына тең.
Егер қисық ашық жарты шардың ішінде жатса, онда мұндай нүкте табылады, яғни , демек, қарама-қайшылыққа келеді. Бұл сондай-ақ, егер қисық жабық жарты шардың ішінде жатса, онда , яғни ол жазық қисық екенін көрсетеді. Бұрылысы мен ұзындығы бірдей болатын нүкте қарастырайық. Сфераны бұру арқылы, екі қисық та полюстер арқылы өтетін оське қатысты симметриялы деп есептеуге болады. Алдыңғы абзац бойынша, екі қисықтың кем дегенде біреуі экватормен бір нүктеде қиылысады. Бұл қисықты белгілейміз. Содан кейін, қисықты , , және солтүстік полюстен өтетін жазықтыққа қарастырамыз, бұл антиподальді нүктелерді қамтитын жабық қисық құрайды, оның ұзындығы . -ге қосылатын қисықтың ұзындығы кем дегенде , яғни арасындағы үлкен жарты шеңбердің ұзындығы. Сондықтан, және егер теңдік орындалса, онда қисық экватордан өтпейді. Демек, және егер теңдік орындалса, онда ол жабық жарты шардың ішінде жатыр, сондықтан жазық қисық болады.
The curve does not lie in an open hemisphere. If so, then there is such that , so , a contradiction. This also shows that if lies in a closed hemisphere, then , so is a plane curve. Consider a point such that curves and have the same length. By rotating the sphere, we may assume and are symmetric about the axis through the poles. By the previous paragraph, at least one of the two curves and intersects with the equator at some point We denote this curve by Then
We reflect across the plane through , , and the north pole, forming a closed curve containing antipodal points , with length A curve connecting has length at least , which is the length of the great semicircle between So , and if equality holds then does not cross the equator. Therefore, , and if equality holds then lies in a closed hemisphere, and thus is a plane curve.