Введение

Определяет понятие средней кривизны любой замкнутой выпуклой планарной кривой в геометрии.

В дифференциальной геометрии теорема Фенчеля представляет собой неравенство для полной абсолютной кривизны замкнутой гладкой пространственной кривой, утверждающее, что она всегда не меньше. Эквивалентно, средняя кривизна не меньше , где – длина кривой. Единственными кривыми такого типа, у которых полная абсолютная кривизна равна , а средняя кривизна равна , являются планарные выпуклые кривые. Теорема названа в честь Вернера Фенхеля, который опубликовал её в 1929 году. Теорема Фенчеля дополняется теоремой Фари–Милнора, которая утверждает, что если замкнутая гладкая простая пространственная кривая нетривиально завязана в узел, то её полная абсолютная кривизна больше 4π.

Доказательство

Если дана замкнутая гладкая кривая с единичной скоростью, то вектор скорости также является замкнутой гладкой кривой. Полная абсолютная кривизна равна ее длине. Кривая не лежит в открытом полусфере. Если бы лежала, то существует такая точка, что , а значит, , что является противоречием. Это также показывает, что если кривая лежит в замкнутой полусфере, то , то есть она является плоской кривой. Рассмотрим точку, такую что кривые и имеют одинаковую длину. Повернув сферу, можно предположить, что и симметричны относительно оси, проходящей через полюса. Из предыдущего следует, что хотя бы одна из кривых и пересекает экватор в некоторой точке. Обозначим эту кривую . Отразим кривую относительно плоскости, проходящей через , , и северный полюс, получив замкнутую кривую, содержащую антиподальные точки , длиной . Кривая, соединяющая , имеет длину не меньше , которая является длиной большой полуокружности между ними. Следовательно, , и если выполняется равенство, то кривая не пересекает экватор. Таким образом, , и если выполняется равенство, то кривая лежит в замкнутой полусфере, и, следовательно, является плоской кривой.