Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада n өлшемді дифференциалдық көптік, егер осы көптікке тегіс векторлық өрістер жиығы болса, параллельдеуге ие деп аталады, олардың тангенс векторлары көптіктің әрбір нүктесінде тангенс кеңістігінің негізін құрайды. Балама ретінде, тангенс бундельі тривиальды бундель болып табылады, сондықтан сызықтық кадрлардың байланысты негізгі бундельі ғаламдық қимаға ие. Мұндай векторлық өрістер жиығын таңдау параллельдеу (немесе абсолютті параллелизм) деп аталады.
In mathematics, a differentiable manifold of dimension n is called parallelizable if there exist smooth vector fields
on the manifold, such that at every point of the tangent vectors
provide a basis of the tangent space at Equivalently, the tangent bundle is a trivial bundle, so that the associated principal bundle of linear frames has a global section on
A particular choice of such a basis of vector fields on is called a parallelization (or an absolute parallelism) of .
Мысалдар
Мысал ретінде шеңберді алайық: V1 бірлік тангенс векторлық өріс деп аламыз, мысалы, сағат тіліне қарсы бағытта. Өлшемді тор да параллельдеуге болады, оны шеңберлердің картезиялық көбейтіндісі ретінде көрсету арқылы көруге болады. Мысалы, әр нүктедегі екі тангенс бағыттары туралы түсінік алу үшін, қарама-қарсы жиектері біріктірілген граф қағаздың квадратынан торды алып, құрастырыңыз. Жалпы алғанда, кез келген Lie тобы G параллельдеуге қабілетті, өйткені сәйкестік элементіндегі тангенстік кеңістіктің негізі G-дің G-дегі аударма тобының әрекетімен жылжытылуы мүмкін (әр аударма – дифеоморфизм, сондықтан бұл аудармалар G нүктелерінің тангенстік кеңістіктері арасындағы сызықтық изоморфизмдерді тудырады). Классикалық мәселе – Sn сфераларының қайсысы параллельдеуге болатынын анықтау болды. S0 нөлдік өлшемді жағдайы тривиалды түрде параллельдеуге болады. S1 жағдайы – бұл шеңбер, ол, жоғарыда түсіндірілгендей, параллельдеуге болады. Шашты шар теоремасы S2 параллельдеуге болмайтынын көрсетеді. Алайда S3 параллельдеуге болады, өйткені ол Lie тобы SU(2). Жалғыз басқа параллельдеуге болатын сфера – S7; мұны 1958 жылы Фридрих Хирцебрук, Мишель Керваир және Рауль Ботт пен Джон Милнор тәуелсіз жұмыстар арқылы дәлелдеді. Паралельдеуге болатын сфералар нақты сандардың, кешенді сандардың, кватерниондардың және октониондардың нормаланған бөліну алгебраларындағы бірлік нормасының элементтеріне дәл сәйкес келеді, бұл әрқайсысы үшін параллелизмді құруға мүмкіндік береді. Басқа сфераларды параллельдеуге болмайтынын дәлелдеу әлдеқайда қиын және алгебралық топологияны қажет етеді. Паралельдеуге болатын көптіктердің көбейтіндісі параллельдеуге болады. Кез келген бағытталған жабық үш өлшемді коллектор параллельдеуге қабілетті.
An example with is the circle: we can take V1 to be the unit tangent vector field, say pointing in the anti clockwise direction. The torus of dimension is also parallelizable, as can be seen by expressing it as a cartesian product of circles. For example, take and construct a torus from a square of graph paper with opposite edges glued together, to get an idea of the two tangent directions at each point. More generally, every Lie group G is parallelizable, since a basis for the tangent space at the identity element can be moved around by the action of the translation group of G on G (every translation is a diffeomorphism and therefore these translations induce linear isomorphisms between tangent spaces of points in G). A classical problem was to determine which of the spheres Sn are parallelizable. The zero dimensional case S0 is trivially parallelizable. The case S1 is the circle, which is parallelizable as has already been explained. The hairy ball theorem shows that S2 is not parallelizable. However S3 is parallelizable, since it is the Lie group SU(2). The only other parallelizable sphere is S7; this was proved in 1958, by Friedrich Hirzebruch, Michel Kervaire, and by Raoul Bott and John Milnor, in independent work. The parallelizable spheres correspond precisely to elements of unit norm in the normed division algebras of the real numbers, complex numbers, quaternions, and octonions, which allows one to construct a parallelism for each. Proving that other spheres are not parallelizable is more difficult, and requires algebraic topology. The product of parallelizable manifolds is parallelizable. Every orientable closed three dimensional manifold is parallelizable.
Ескертпелер
Кез келген параллельдеуге болатын коллектор бағытталады. Фреймделген көптік (кейде-кейде қайырмалы көптік) термині көбінесе қалыпты шоғырдың берілген тривиализациясы бар кіріктірілген көптікке, сондай-ақ, жанама шоғырдың берілген тұрақты тривиализациясы бар абстрактілік (яғни кіріктірілмеген) көптікке қолданылады. Бұлмен байланысты ұғым – π көптік ұғымы. Егер тегіс көптік жоғары өлшемді евклид кеңістігіне енгізілгенде оның қалыпты шоғыры тривиальды болса, онда ол π көптік деп аталады. Әсіресе, кез келген параллельдеуге болатын көптік π көптік болып табылады.
Any parallelizable manifold is orientable. The term framed manifold (occasionally rigged manifold) is most usually applied to an embedded manifold with a given trivialisation of the normal bundle, and also for an abstract (that is, non embedded) manifold with a given stable trivialisation of the tangent bundle. A related notion is the concept of a π manifold. A smooth manifold is called a π manifold if, when embedded in a high dimensional euclidean space, its normal bundle is trivial. In particular, every parallelizable manifold is a π manifold.