Введение
Коммутативное кольцо без делителей нуля, отличных от нуля.
В математике интегральная область — это ненулевое коммутативное кольцо, в котором произведение любых двух ненулевых элементов ненулевое. Интегральные области являются обобщениями кольца целых чисел и предоставляют естественную среду для изучения делимости. В интегральной области каждый ненулевой элемент *a* обладает свойством сократимости, то есть, если *a* ≠ 0, равенство влечет за собой . Термин "интегральная область" определяется почти повсеместно, как указано выше, но существуют некоторые вариации. В данной статье принято соглашение, что кольца имеют мультипликативную единицу, обычно обозначаемую 1, однако некоторые авторы не придерживаются этого, не требуя наличия мультипликативной единицы в интегральных областях. Иногда допускаются некомутативные интегральные области. Тем не менее, в данной статье используется гораздо более распространенное соглашение, согласно которому термин "интегральная область" зарезервирован для коммутативного случая, а термин "домен" используется для общего случая, включающего некомутативные кольца. Некоторые источники, в частности Ланг, используют термин "целое кольцо" для обозначения интегральной области. Некоторые специфические типы интегральных областей представлены следующей цепочкой включений классов:
"Integral domain" is defined almost universally as above, but there is some variation. This article follows the convention that rings have a multiplicative identity, generally denoted 1, but some authors do not follow this, by not requiring integral domains to have a multiplicative identity. Noncommutative integral domains are sometimes admitted. This article, however, follows the much more usual convention of reserving the term "integral domain" for the commutative case and using "domain" for the general case including noncommutative rings. Some sources, notably Lang, use the term entire ring for integral domain. Some specific kinds of integral domains are given with the following chain of class inclusions:
Определение
Интегральная область — это ненулевое коммутативное кольцо, в котором произведение любых двух ненулевых элементов ненулево. Эквивалентно: интегральная область — это ненулевое коммутативное кольцо, не имеющее ненулевых делителей нуля. Интегральная область — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым идеалом. Интегральная область — это ненулевое коммутативное кольцо, для которого каждый ненулевой элемент сократи́м при умножении. Интегральная область — это кольцо, множество ненулевых элементов которого образует коммутативный моноид относительно умножения (поскольку моноид должен быть замкнутым относительно умножения). Интегральная область — это ненулевое коммутативное кольцо, в котором для каждого ненулевого элемента r функция, отображающая каждый элемент x кольца в произведение xr, является инъекцией. Элементы r, обладающие этим свойством, называются регулярными, поэтому эквивалентным условием является требование, чтобы каждый ненулевой элемент кольца был регулярным. Интегральная область — это кольцо, изоморфное подкольцу поля. (Любую интегральную область можно вложить в своё поле частных.)
An integral domain is a nonzero commutative ring with no nonzero zero divisors. An integral domain is a commutative ring in which the zero ideal {0} is a prime ideal. An integral domain is a nonzero commutative ring for which every nonzero element is cancellable under multiplication. An integral domain is a ring for which the set of nonzero elements is a commutative monoid under multiplication (because a monoid must be closed under multiplication). An integral domain is a nonzero commutative ring in which for every nonzero element r, the function that maps each element x of the ring to the product xr is injective. Elements r with this property are called regular, so it is equivalent to require that every nonzero element of the ring be regular. An integral domain is a ring that is isomorphic to a subring of a field. (Given an integral domain, one can embed it in its field of fractions.)
Примеры
Архетипичным примером является кольцо всех целых чисел. Каждое поле является интегральной областью. Например, поле всех действительных чисел является интегральной областью. И наоборот, каждая артинова интегральная область является полем. В частности, все конечные интегральные области являются конечными полями (более общо, по малой теореме Уэддерберна, конечные области являются конечными полями). Кольцо целых чисел предоставляет пример неартиновой бесконечной интегральной области, которая не является полем, и обладает бесконечной убывающей последовательностью идеалов, такой как:
Rings of polynomials are integral domains if the coefficients come from an integral domain. For instance, the ring of all polynomials in one variable with integer coefficients is an integral domain; so is the ring of all polynomials in n variables with complex coefficients. The previous example can be further exploited by taking quotients from prime ideals. For example, the ring corresponding to a plane elliptic curve is an integral domain. Integrality can be checked by showing is an irreducible polynomial. The ring is an integral domain for any non square integer If , then this ring is always a subring of , otherwise, it is a subring of
The ring of p adic integers is an integral domain. The ring of formal power series of an integral domain is an integral domain. If is a connected open subset of the complex plane , then the ring consisting of all holomorphic functions is an integral domain. The same is true for rings of analytic functions on connected open subsets of analytic manifolds. A regular local ring is an integral domain. In fact, a regular local ring is a UFD.
Кольца многочленов являются интегральными областями, если коэффициенты берутся из интегральной области. Например, кольцо всех многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами является интегральной областью; то же самое относится и к кольцу всех многочленов от n переменных с комплексными коэффициентами. Предыдущий пример можно дополнительно использовать, рассматривая факторкольца по простым идеалам. Например, кольцо, соответствующее плоской эллиптической кривой, является интегральной областью. Целостность можно проверить, показав, что это неприводимый многочлен. Кольцо является интегральной областью для любого целого числа, не являющегося полным квадратом. Если , то это кольцо всегда является подкольцом , иначе – подкольцом .
Rings of polynomials are integral domains if the coefficients come from an integral domain. For instance, the ring of all polynomials in one variable with integer coefficients is an integral domain; so is the ring of all polynomials in n variables with complex coefficients. The previous example can be further exploited by taking quotients from prime ideals. For example, the ring corresponding to a plane elliptic curve is an integral domain. Integrality can be checked by showing is an irreducible polynomial. The ring is an integral domain for any non square integer If , then this ring is always a subring of , otherwise, it is a subring of
The ring of p adic integers is an integral domain. The ring of formal power series of an integral domain is an integral domain. If is a connected open subset of the complex plane , then the ring consisting of all holomorphic functions is an integral domain. The same is true for rings of analytic functions on connected open subsets of analytic manifolds. A regular local ring is an integral domain. In fact, a regular local ring is a UFD.
Кольцо p-адических целых чисел является интегральной областью. Кольцо формальных степенных рядов над интегральной областью является интегральной областью. Если – связное открытое подмножество комплексной плоскости , то кольцо, состоящее из всех голоморфных функций, является интегральной областью. То же самое верно для колец аналитических функций на связных открытых подмножествах аналитических многообразий. Регулярное локальное кольцо является интегральной областью. Фактически, регулярное локальное кольцо является областью однозначных разложений (УОД).
Rings of polynomials are integral domains if the coefficients come from an integral domain. For instance, the ring of all polynomials in one variable with integer coefficients is an integral domain; so is the ring of all polynomials in n variables with complex coefficients. The previous example can be further exploited by taking quotients from prime ideals. For example, the ring corresponding to a plane elliptic curve is an integral domain. Integrality can be checked by showing is an irreducible polynomial. The ring is an integral domain for any non square integer If , then this ring is always a subring of , otherwise, it is a subring of
The ring of p adic integers is an integral domain. The ring of formal power series of an integral domain is an integral domain. If is a connected open subset of the complex plane , then the ring consisting of all holomorphic functions is an integral domain. The same is true for rings of analytic functions on connected open subsets of analytic manifolds. A regular local ring is an integral domain. In fact, a regular local ring is a UFD.
Непримеры
Следующие кольца не являются областями целостности. Нулевое кольцо (кольцо, в котором ). Факторкольцо , когда m – составное число. Действительно, выберем собственное разложение на множители (то есть, и не равны или ). Тогда и , но – произведение двух ненулевых коммутативных колец. В таком произведении , имеем Факторкольцо для любого . Образы и ненулевые, в то время как их произведение равно 0 в этом кольце. Кольцо матриц n × n над любым ненулевым кольцом при n ≥ 2. Если и – матрицы, такие что образ содержится в ядре , то, например, это происходит для Факторкольцо для любого поля и любых многочленов, не являющихся константами. Образы f и g в этом факторкольце – ненулевые элементы, произведение которых равно 0. Этот аргумент эквивалентно показывает, что не является простым идеалом. Геометрическая интерпретация этого результата заключается в том, что нули fg образуют аффинное алгебраическое множество, которое, как правило, не является неприводимым (то есть не является алгебраическим многообразием). Единственный случай, когда это алгебраическое множество может быть неприводимым, – это когда fg является степенью неприводимого многочлена, определяющего то же алгебраическое множество. Кольцо непрерывных функций на единичном интервале. Рассмотрим функции
Ни , ни не равны нулю везде, но равен нулю. Тензорное произведение. Это кольцо имеет два нетривиальных идемпотента, и . Они ортогональны, то есть , и, следовательно, не является областью целостности. Фактически, существует изоморфизм, заданный формулой: Его обратное задается формулой: Этот пример показывает, что произведение волокон неразложимых аффинных схем не обязательно должно быть неразложимым.
Neither nor is everywhere zero, but is. The tensor product This ring has two non trivial idempotents, and They are orthogonal, meaning that , and hence is not a domain. In fact, there is an isomorphism defined by Its inverse is defined by This example shows that a fiber product of irreducible affine schemes need not be irreducible.
Делимость, простые элементы и необратимые элементы
В этом разделе R является интегральной областью. Для элементов a и b из R говорят, что a делит b, или что a является делителем b, или что b является кратным a, если существует элемент x в R, такой что ax = b. Единицы R – это элементы, делящие 1; это как раз обратимые элементы в R. Все остальные элементы делятся на единицы. Если a делит b и b делит a, то a и b являются ассоциированными элементами. Эквивалентно, a и b ассоциированы, если существует единица u такая, что a = ub. Нередуцируемый элемент – это ненулевой элемент, не являющийся единицей, который нельзя представить в виде произведения двух элементов, не являющихся единицами. Ненулевой элемент p, не являющийся единицей, является простым элементом, если, когда p делит произведение ab, то p делит a или p делит b. Эквивалентно, элемент p является простым тогда и только тогда, когда главный идеал (p) является ненулевым простым идеалом. Оба понятия – нередуцируемые элементы и простые элементы – обобщают обычное определение простых чисел в кольце, если считать простыми отрицательные простые числа. Каждый простой элемент является нередуцируемым. Обратное неверно в общем случае: например, в кольце целых квадратичных чисел элемент 3 является нередуцируемым (если бы он разлагался на множители, каждый из них должен был бы иметь норму 3, но элементов нормы 3 нет, поскольку уравнение не имеет целых решений), но не является простым (поскольку 3 делит , не деля ни один из множителей). В области однозначной факторизации (или, более общо, в области НОД) нередуцируемый элемент является простым элементом. Хотя однозначная факторизация не выполняется в , существует однозначная факторизация идеалов. См. теорему Ласкера — Ноэтера.
Свойства
Коммутативное кольцо R является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал (0) кольца R является простым идеалом. Если R – коммутативное кольцо, а P – идеал в R, то факторкольцо R/P является областью целостности тогда и только тогда, когда P – простой идеал. Пусть R – область целостности. Тогда полиномиальные кольца над R (с любым числом переменных) являются областями целостности. В частности, это верно, если R – поле. Свойство сократимости выполняется в любой области целостности: для любых a, b и c в области целостности, если a ≠ 0 и ab = ac, то b = c. Другими словами, функция x ↦ ax является инъективной для любого ненулевого a в области. Свойство сократимости выполняется для идеалов в любой области целостности: если xI = xJ, то либо x равен нулю, либо I = J. Область целостности равна пересечению своих локализаций по максимальным идеалам. Индуктивный предел областей целостности является областью целостности. Если A и B – области целостности над алгебраически замкнутым полем k, то A ⊗k B является областью целостности. Это следствие теоремы Нульстелленца Гильберта, и в алгебраической геометрии это влечет утверждение, что координатное кольцо произведения двух аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем снова является областью целостности.
Поле дробей
Поле частных K целостного домена R — это множество частных вида a/b, где a и b принадлежат R и b ≠ 0, рассматриваемое с точностью до подходящего отношения эквивалентности и снабжённое обычными операциями сложения и умножения. Оно является "наименьшим полем, содержащим R" в том смысле, что существует инъективный гомоморфизм колец R → K, такой, что любой инъективный гомоморфизм колец из R в поле факторизуется через K. Поле частных кольца целых чисел является полем рациональных чисел. Поле частных поля изоморфно самому себе.
Алгебраическая геометрия
Для интегральных областей характерно условие, что они редуцированы (то есть, если 1 = x² = 0, то 1 = x = 0) и неприводимы (то есть, существует только один минимальный простой идеал). Первое условие гарантирует, что нилрадикал кольца равен нулю, следовательно, пересечение всех минимальных простых идеалов кольца равно нулю. Второе условие заключается в том, что кольцо имеет только один минимальный простой идеал. Отсюда следует, что единственный минимальный простой идеал редуцированного и неприводимого кольца — это нулевой идеал, поэтому такие кольца являются интегральными областями. Обратное утверждение очевидно: интегральная область не содержит ненулевых нильпотентных элементов, а нулевой идеал является единственным минимальным простым идеалом. В алгебраической геометрии это означает, что координатное кольцо аффинного алгебраического множества является интегральной областью тогда и только тогда, когда само алгебраическое множество является алгебраическим многообразием. В более общем случае, коммутативное кольцо является интегральной областью тогда и только тогда, когда его спектр является интегральной аффинной схемой.
Характерные и гомоморфизмы
Характеристика целостного домена равна либо 0, либо простому числу. Если R — целостной домен простой характеристики p, то эндоморфизм Фробениуса x ↦ xᵖ инъективен.