Интегралдар және есептеулер негіздері

Кіріспе

Математикалық есептеудегі операция. Математикалық есептеудегі нақты интегралдар ұғымы.

Математикада интеграл – аудандар, көлемдер және олардың жалпыламаларын есептеу үшін қолданылатын соманың үздіксіз аналогы. Интеграл, интегралды есептеу процесі – математикалық есептеудің екі негізгі операциясының бірі, екіншісі – дифференциация. Интеграция бастапқыда математика мен физикадағы мәселелерді шешу үшін қолданылды, мысалы, қисық сызық астындағы аумақты табу немесе жылдамдықтан орын ауыстыруды анықтау. Интеграцияның қолданылуы кейіннен көптеген ғылыми салаларға тарады. Нақты интеграл – нақты түзудегі екі нүкте арасындағы берілген функция графигімен шектелген жазықтықтағы аймақтың белгіленген ауданын есептейді. Әдетте, жазықтықтың көлденең осьінен жоғары орналасқан аудандар оң, ал төмен орналасқандар теріс болады. Интегралдар сондай-ақ антидеривативтің, яғни туындысы берілген функцияға тең болатын функцияның ұғымына сілтеме жасайды; мұндай интегралдар анықталмаған интегралдар деп те аталады. Калькулустың негізгі теоремасы нақты интегралды дифференциациямен байланыстырады және функцияның антидериваты белгілі болған жағдайда оның нақты интегралын есептеу әдісін ұсынады; дифференциация және интеграция – кері операциялар. Аймақтар мен көлемдерді есептеу әдістері ежелгі грек математикасынан бастау алады, бірақ интеграция принциптерін 17 ғасырдың соңында Исаак Ньютон және Готфрид Вильгельм Лейбниц тәуелсіз түрде тұжырымдады, олар қисық сызық астындағы аумақты шексіз кішкентай ені бар тіктөртбұрыштардың шексіз қосындысы деп қарастырды. Бернхард Риман кейіннен интегралдардың қатаң анықтамасын берді, ол қисық сызықты аймақтың ауданына жуықтау үшін аймақты шексіз жұқа тік тілімдерге бөлуге негізделген шектеу процедурасы болып табылады. 20 ғасырдың басында Анри Лебег Риманның тұжырымын Лебег интегралы деп аталатын жаңа тұжырымды енгізу арқылы кеңейтті; ол Риман интегралынан гөрі жалпылама, себебі көбірек функциялар Лебег интегралданады. Интегралдар функцияның түріне және интегралдау доменіне байланысты әртүрлі жолдарда жалпылануы мүмкін. Мысалы, екі немесе одан көп айнымалысы бар функциялар үшін сызықтық интеграл анықталады, онда интегралдау аралығы кеңістіктегі екі нүктені қосатын қисықпен алмастырылады. Беттік интегралда, қисық үш өлшемді кеңістіктегі беттің бөлігімен алмастырылады.

In mathematics, an integral is the continuous analog of a sum, which is used to calculate areas, volumes, and their generalizations. Integration, the process of computing an integral, is one of the two fundamental operations of calculus, the other being differentiation. Integration was initially used to solve problems in mathematics and physics, such as finding the area under a curve, or determining displacement from velocity. Usage of integration expanded to a wide variety of scientific fields thereafter. A definite integral computes the signed area of the region in the plane that is bounded by the graph of a given function between two points in the real line. Conventionally, areas above the horizontal axis of the plane are positive while areas below are negative. Integrals also refer to the concept of an antiderivative, a function whose derivative is the given function; in this case, they are also called indefinite integrals. The fundamental theorem of calculus relates definite integration to differentiation and provides a method to compute the definite integral of a function when its antiderivative is known; differentiation and integration are inverse operations. Although methods of calculating areas and volumes dated from ancient Greek mathematics, the principles of integration were formulated independently by Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz in the late 17th century, who thought of the area under a curve as an infinite sum of rectangles of infinitesimal width. Bernhard Riemann later gave a rigorous definition of integrals, which is based on a limiting procedure that approximates the area of a curvilinear region by breaking the region into infinitesimally thin vertical slabs. In the early 20th century, Henri Lebesgue generalized Riemann's formulation by introducing what is now referred to as the Lebesgue integral; it is more general than Riemann's in the sense that a wider class of functions are Lebesgue integrable. Integrals may be generalized depending on the type of the function as well as the domain over which the integration is performed. For example, a line integral is defined for functions of two or more variables, and the interval of integration is replaced by a curve connecting two points in space. In a surface integral, the curve is replaced by a piece of a surface in three dimensional space.

Калькуль алды интеграциясы

Интегралды анықтауға қабілетті алғашқы құжатталған жүйелі әдіс – ежелгі грек астрономы Евдокс пен философ Демокриттің (шамамен б.з.б. 370 ж.) әдісі, ол аудандар мен көлемдерді оларды білетін ауданы немесе көлемі шексіз көп бөліктерге бөлу арқылы табуға тырысты. Бұл әдіс б.з.б. 3 ғасырда Архимед тарапынан одан әрі дамытылып, қолданылды. Ол шеңбердің ауданын, сфераның бетінің ауданы мен көлемін, эллипстің ауданын, парабола астындағы ауданы, айналма параболоидінің сегментінің көлемін, айналма гиперболоидінің сегментінің көлемін және спиральдің ауданын есептеу үшін пайдаланды. Осыған ұқсас әдіс Қытайда біздің заманымыздың 3 ғасырында Лю Хуэй тәуелсіз түрде әзірледі және оны шеңбердің ауданын табу үшін қолданды. Бұл әдіс 5 ғасырда қытай математиктері Зу Чунчжи мен Зу Гэн сфераның көлемін табу үшін қолданды. Таяу Шығыста Хасан Ибн әл-Хайтам (латыншасы – Альхазен) төртінші дәрежелі шамалардың қосындысы үшін формула шығарды. Ол нәтижелерді қазір интегралдау деп аталатын нәрсені жүзеге асыру үшін пайдаланды, онда интегралды квадраттар мен төртінші дәрежелі шамалардың қосындысы формулалары оған параболоидтың көлемін есептеуге мүмкіндік берді. Интегралды есептеудегі келесі маңызды жетістіктер 17 ғасырға дейін көрінбеді. Осы кезде Кавальеридің бөлінбейтін шамалар әдісімен және Ферманың жұмысы қазіргі заманғы есептеудің негізін қалауды бастады, Кавальери Кавальеридің квадраттау формуласында x^n интегралдарын белгілі бір дәрежеге дейін есептеді. n = −1 жағдайы 1647 жылы гиперболаның квадратталуы арқылы қол жеткізілген гиперболалық логарифм функциясын ойлап табуды қажет етті. 17 ғасырдың басында Барроу мен Торричелли интегралдау мен дифференциалдау арасындағы байланысқа алғашқы меңзеулер жасады. Барроу математикалық есептеудің негізгі теоремасын алғаш рет дәлелдеді. Уоллис Кавальеридің әдісін жалпылады, x-тің интегралдарын жалпы дәрежелерге, соның ішінде теріс және бөлшек дәрежелерге есептеді.

The first documented systematic technique capable of determining integrals is the method of exhaustion of the ancient Greek astronomer Eudoxus and philosopher Democritus (ca. 370 BC), which sought to find areas and volumes by breaking them up into an infinite number of divisions for which the area or volume was known. This method was further developed and employed by Archimedes in the 3rd century BC and used to calculate the area of a circle, the surface area and volume of a sphere, area of an ellipse, the area under a parabola, the volume of a segment of a paraboloid of revolution, the volume of a segment of a hyperboloid of revolution, and the area of a spiral. A similar method was independently developed in China around the 3rd century AD by Liu Hui, who used it to find the area of the circle. This method was later used in the 5th century by Chinese father and son mathematicians Zu Chongzhi and Zu Geng to find the volume of a sphere. In the Middle East, Hasan Ibn al Haytham, Latinized as Alhazen ( AD) derived a formula for the sum of fourth powers. He used the results to carry out what would now be called an integration of this function, where the formulae for the sums of integral squares and fourth powers allowed him to calculate the volume of a paraboloid. The next significant advances in integral calculus did not begin to appear until the 17th century. At this time, the work of Cavalieri with his method of indivisibles, and work by Fermat, began to lay the foundations of modern calculus, with Cavalieri computing the integrals of x^(n) up to degree in Cavalieri's quadrature formula. The case n = −1 required the invention of a function, the hyperbolic logarithm, achieved by quadrature of the hyperbola in 1647. Further steps were made in the early 17th century by Barrow and Torricelli, who provided the first hints of a connection between integration and differentiation. Barrow provided the first proof of the fundamental theorem of calculus. Wallis generalized Cavalieri's method, computing integrals of x to a general power, including negative powers and fractional powers.

Лейбниц пен Ньютон

Интеграцияның маңызды жетістігі 17 ғасырда Лейбниц пен Ньютонның негізгі есептеу теоремасын тәуелсіз түрде ашуымен болды. Бұл теорема интеграция мен дифференциация арасындағы байланысты көрсетеді. Осы байланыс, дифференциациялаудың салыстырмалы түрде оңай болуымен қоса, интегралдарды есептеуге қолданылуы мүмкін. Атап айтқанда, негізгі есептеу теоремасы көптеген түрлі мәселелерді шешуге мүмкіндік береді. Сонымен қатар, Лейбниц бен Ньютон екеуі де дамытқан толыққанды математикалық жүйе де маңызды. «Инфинитезимальды есептеу» деп аталған бұл жүйе, үздіксіз салалары бар функцияларды дәл талдауға мүмкіндік берді. Бұл жүйе ақырында қазіргі заманғы есептеуге айналды, ал интегралдарды белгілеу жүйесі тікелей Лейбництің еңбектерінен алынған.

Ресмилендіру

Ньютон мен Лейбниц интеграцияға жүйелі тәсіл ұсынғанмен, олардың еңбегінде қаталдық жетіспеді. Епископ Беркли Ньютон қолданған нөлге жақындаған шамаларды сынап, оларды "көшкен шамалардың көлеңкесі" деп атады. Калькулус лимиттердің дамуымен берік негізге ие болды. Риман лимиттерді пайдалана отырып, интеграцияны алғаш рет қатаң түрде формалдады. Барлық шектелген, бөлік-бөлік үздіксіз функциялар шектелген аралықта Риман интегралданатын болса да, кейіннен Фурье анализі сияқты жағдайларда Риманның анықтамасы қолданылмайтын, көбірек жалпы функциялар қарастырылды, сондай-ақ Лебег өлшемдер теориясына (нақты талдаудың бір саласы) негізделген интегралдың жаңа анықтамасын жасады. Риман мен Лебег тәсілдерін кеңейтетін интегралдың басқа анықтамалары да ұсынылды. Бүгінгі күні ең көп қолданылатыны – нақты сандар жүйесіне негізделген тәсілдер, бірақ гипернақты сандар жүйесіне негізделген, интегралды шексіз Риман қосындысының стандартты бөлігі ретінде анықтайтын сияқты баламалы тәсілдер де бар.

Тарихи белгілері

Белгісіз интегралдың белгісін 1675 жылы Готфрид Вильгельм Лейбниц енгізді. Ол интеграл символын, ∫, ſ (ұзын s) әрпінен бейімдеді, ол summa (сумма деп жазылады; латынша "қосынды" немесе "жинамалы сома") дегенді білдіреді. Анық интегралдың қазіргі заманғы белгісін, интеграл белгісінің үстінде және астындағы шектерімен, алғаш рет Жозеф Фурье 1819–1820 жылдары Франция Ғылым академиясының еңбектерінде қолданды, бұл 1822 жылғы кітабында қайта басылды. Исаак Ньютон интеграцияны көрсету үшін айнымалының үстіне кішкентай тік сызық қойды немесе айнымалыны тіктөртбұрышқа орналастырды. Тік сызықты немесе x′-ты дифференциацияны көрсету үшін қолданылатын символдармен шатастыру оңай болды, ал тіктөртбұрыш белгісін басу машиналарында көшіру қиын болғандықтан, бұл белгілер кеңінен қолданылмады.

Терминнің алғашқы қолданылуы

Терминді алғаш рет 1690 жылы Якоб Бернулли латын тілінде жариялаған: "Ergo et horum Integralia aequantur".

Түсіндірме

Интегралдар көптеген практикалық жағдайларда кездеседі. Мысалы, жазық түбі бар тікбұрышты бассейннің ұзындығы, ені және тереңдігі оның сыйымдылығын, бетінің ауданын және жиегінің ұзындығын анықтауға мүмкіндік береді. Бірақ егер ол дөңгеленген түбі бар овал болса, осы шамалардың нақты және қатаң мәндерін табу үшін интегралдар қажет. Әр жағдайда ізделіп отырған шаманы шексіз көп кішкентай бөліктерге бөлуге болады, содан кейін осы бөліктерді қосып, дәл шамалауға қол жеткізуге болады. Тағы бір мысал ретінде, f(x) = 1/x = 0 және 1/x = 1 арасындағы функция графигімен шектелген аймақтың ауданын табу үшін, интервалды бес бөлікке (0, 1/5, 2/5, ..., 1) бөлуге болады, содан кейін әр бөліктің оң жақ шетінің биіктігін пайдаланып тікбұрыштар салуға болады (яғни) және олардың аудандарын қосып, нақты мәннен үлкен шамамен алуға болады. Керісінше, егер осы кіші интервалдарды әр бөліктің сол жақ шетінің биіктігімен алмастырсақ, шамалау тым төмен болады: он екі мұндай кіші интервалмен шамаланған аумақ тек 0,6203-ке тең. Дегенмен, бөліктердің саны шексізке ұлғайғанда, ол ізделіп отырған аумақтың нақты мәніне жетеді (бұл жағдайда 2/3). Осылай жазады:

∫ f(x) dx = 2/3

Бұл 2/3 функция мәндерінің салмақталған қосындысының нәтижесі, ол dx деп белгіленетін кішкентай қадамдардың енімен көбейтіледі, [0, 1] интервалында.

Ресми анықтамалар

Интегралды формалды түрде анықтаудың көптеген тәсілдері бар, олардың бәрі де бірдей емес. Осы айырмашылықтар көбінесе басқа анықтамалар бойынша интегралдау мүмкін болмайтын ерекше жағдайларды шешу үшін туындайды, бірақ кейде оқу процесін жеңілдету мақсатында да қолданылады. Ең көп қолданылатын анықтамалар – Риман интегралы және Лебег интегралы.

Теңсіздіктер

Бірқатар жалпы теңсіздіктер Риман интегралданатын, жабық және шектелген аралықта анықталған функциялар үшін орындалады және интегралдың басқа түсініктерге (Лебег және Даниэлл) жалпыланады. Жоғарғы және төменгі шектер. жабық аралықтағы интегралданатын f функциясы, міндетті түрде сол аралықта шектелген болады. Осылайша, m және M нақты сандары бар, сонда m ≤ f(x) ≤ M барлық x үшін . f функциясының үстінен алынған төменгі және жоғарғы қосындылары сәйкесінше m(b − a) және M(b − a) арқылы шектеледі, сондықтан: Функциялар арасындағы теңсіздіктер. Егер f(x) ≤ g(x) әр x үшін , онда f функциясының жоғарғы және төменгі қосындыларының әрқайсысы g функциясының жоғарғы және төменгі қосындыларымен шектеледі. Яғни: Бұл жоғарыдағы теңсіздіктердің жалпылауы болып табылады, себебі M(b − a) – M мәнімен тұрақты функцияның интегралы. Сонымен қатар, егер функциялар арасындағы теңсіздік қатаң болса, онда интегралдар арасындағы теңсіздік те қатаң болады. Яғни, егер f(x) < g(x) әр x үшін , онда: Кіші аралықтар. Егер аралығы аралығының кіші аралығы болса және f(x) барлық x үшін теріс емес болса, онда: Функциялардың көбейтінділері мен абсолюттік мәндері. Егер f және g екі функция болса, онда олардың нүктелік көбейтінділерін, дәрежелерін және абсолюттік мәндерін қарастыруға болады: Егер f функциясы аралығында Риман интегралданатын болса, онда да солай болады, және . Сонымен қатар, егер f және g екеуі де Риман интегралданатын болса, онда fg да Риман интегралданатын болады, және . Бұл теңсіздік, Коши-Шварц теңсіздігі деп аталады, Хилберт кеңістігі теориясында маңызды рөл атқарады, онда сол жақ екі квадратқа интегралданатын функцияның аралығындағы ішкі көбейтіндісі ретінде қарастырылады. Хольдер теңсіздігі. p және q екі нақты сан болсын, 1 ≤ p, q ≤ ∞ және , ал f және g екі Риман интегралданатын функция болсын. Содан кейін функциялар және де интегралданады және келесі Хольдер теңсіздігі орындалады: Егер 1=p = q = 2 болса, Хольдер теңсіздігі Коши-Шварц теңсіздігіне айналады. Минковский теңсіздігі. Маңызды салдар, кейде екінші фундаментальды теорема деп аталатын, интегралды интегралданатын функцияның туындысын пайдалану арқылы есептеуге мүмкіндік береді.

A number of general inequalities hold for Riemann integrable functions defined on a closed and bounded interval and can be generalized to other notions of integral (Lebesgue and Daniell). Upper and lower bounds. An integrable function f on , is necessarily bounded on that interval. Thus there are real numbers m and M so that m ≤ f (x) ≤ M for all x in Since the lower and upper sums of f over are therefore bounded by, respectively, m(b − a) and M(b − a), it follows that
Inequalities between functions. If f(x) ≤ g(x) for each x in then each of the upper and lower sums of f is bounded above by the upper and lower sums, respectively, of g. Thus This is a generalization of the above inequalities, as M(b − a) is the integral of the constant function with value M over In addition, if the inequality between functions is strict, then the inequality between integrals is also strict. That is, if f(x) < g(x) for each x in , then
Subintervals. If is a subinterval of and f&hairsp;(x) is non negative for all x, then
Products and absolute values of functions. If f and g are two functions, then we may consider their pointwise products and powers, and absolute values: If f is Riemann integrable on then the same is true for , and Moreover, if f and g are both Riemann integrable then fg is also Riemann integrable, and This inequality, known as the Cauchy–Schwarz inequality, plays a prominent role in Hilbert space theory, where the left hand side is interpreted as the inner product of two square integrable functions f and g on the interval Hölder's inequality. Suppose that p and q are two real numbers, 1 ≤ p, q ≤ ∞ with , and f and g are two Riemann integrable functions. Then the functions and are also integrable and the following Hölder's inequality holds: For 1=p = q = 2, Hölder's inequality becomes the Cauchy–Schwarz inequality. Minkowski inequality. An important consequence, sometimes called the second fundamental theorem of calculus, allows one to compute integrals by using an antiderivative of the function to be integrated.

Көптік интеграция

Бір айнымалының оң функциясының белгілі интегралы функцияның графигі мен x осьінің арасындағы ауданы білдірсе, екі айнымалының оң функциясының қос интегралы функциямен анықталған бет пен оның доменін қамтитын жазықтықтың арасындағы көлемді білдіреді. Мысалы, екі өлшемдегі функция екі нақты айнымалыға, x және y-ге тәуелді, ал екі интервалдың Картезиан көбейтіндісі ретінде берілген R тікбұрышы бойынша f функциясының интегралы жазылуы мүмкін, онда dA дифференциалы интегралдың ауданына қатысты екенін көрсетеді. Бұл қос интегралды Риманның қосындыларын пайдалана отырып анықтауға болады және R доменінің графигі астындағы (белгіленген) көлемді білдіреді. Тиісті жағдайларда (мысалы, егер f үзіліссіз болса), Фубини теоремасы бұл интегралды эквивалентті итерацияланған интеграл ретінде көрсетуге болады. Бұл қос интегралды есептеу мәселесін бір өлшемді интегралдарды есептеуге дейін азайтады. Осыған байланысты R үстіндегі интегралдың басқа белгісі қос интеграл белгісін қолданады: Әр түрлі түзу интегралдар қолданылады. Жабық қисық болса, оны контурлы интеграл деп те атайды. Интеграцияланатын функция скалярлық өріс немесе векторлық өріс болуы мүмкін. Түзу интегралының мәні – қисықтың барлық нүктелеріндегі өрістің мәндерінің қосындысы, ол қисықтағы қандай да бір скалярлық функциямен (әдетте доға ұзындығы немесе векторлық өріс үшін, қисықтағы дифференциалдық вектормен векторлық өрістің скалярлық көбейтіндісі) салмақталады. Бұл салмақ сызықтық интегралды интервалдарда анықталған қарапайым интегралдардан ажыратады. Физикадағы көптеген қарапайым формулалар сызықтық интегралдар тұрғысынан табиғи үздіксіз аналогтарға ие; мысалы, жұмыс күшке тең, "F" орын ауыстыруға, "s" көбейтіледі, (векторлық шамалар тұрғысынан) былайша білдірілуі мүмкін: "F" векторлық өрісте C жолында қозғалатын объект үшін, мысалы, электр өрісі немесе гравитациялық өріс, өріс объектіге жасаған жалпы жұмыс "s" -тен "s" + d's'-ке көшу кезінде жасалған дифференциалдық жұмысты қосу арқылы алынады. Бұл түзу интегралды береді. Беттік интеграл екі еселік интегралды бір бет үстіндегі интегралға жалпылайды (бұл кеңістіктегі қисық жиын болуы мүмкін); оны түзу интегралдың қос еселік интеграл аналогы ретінде қарастыруға болады. Интеграцияланатын функция скалярлық өріс немесе векторлық өріс болуы мүмкін. Жер бетінің интегралының мәні – жер бетіндегі барлық нүктелердегі өрістің қосындысы. Бұл бетін Риманның қосындылары үшін бөлуді қамтамасыз ететін бет элементтеріне бөлу арқылы жүзеге асырылады. Бет интегралдарының қолданылу мысалын алу үшін S бетіндегі 'v' векторлық өрісті қарастырайық; яғни S-дегі әр x нүктесі үшін 'v'(x) вектор болып табылады. Сұйықтық S арқылы ағып жатыр деп елестетіңіз, сондықтан 'v'(x) сұйықтық жылдамдығын x нүктесінде анықтайды. Ағым уақыт бірлігі бойынша S арқылы ағып жатқан сұйықтық мөлшері ретінде анықталады. Ағымды табу үшін "v" нүктелік көбейтіндісін әр нүктеде S-ге бірлік бет нормасымен алу керек, бұл скалярлық өрісті береді, ол бет үстінде интеграцияланады: Бұл мысалдағы сұйықтық ағысы су немесе ауа сияқты физикалық сұйықтықтан немесе электрлік немесе магниттік ағыстан болуы мүмкін. Сонымен, беткі интегралдар физикада, әсіресе электромагнетизмнің классикалық теориясында қолданылады.

Just as the definite integral of a positive function of one variable represents the area of the region between the graph of the function and the x axis, the double integral of a positive function of two variables represents the volume of the region between the surface defined by the function and the plane that contains its domain. For example, a function in two dimensions depends on two real variables, x and y, and the integral of a function f over the rectangle R given as the Cartesian product of two intervals can be written

where the differential dA indicates that integration is taken with respect to area. This double integral can be defined using Riemann sums, and represents the (signed) volume under the graph of over the domain R. Under suitable conditions (e. g., if f is continuous), Fubini's theorem states that this integral can be expressed as an equivalent iterated integral

This reduces the problem of computing a double integral to computing one dimensional integrals. Because of this, another notation for the integral over R uses a double integral sign: Various different line integrals are in use. In the case of a closed curve it is also called a contour integral. The function to be integrated may be a scalar field or a vector field. The value of the line integral is the sum of values of the field at all points on the curve, weighted by some scalar function on the curve (commonly arc length or, for a vector field, the scalar product of the vector field with a differential vector in the curve). This weighting distinguishes the line integral from simpler integrals defined on intervals. Many simple formulas in physics have natural continuous analogs in terms of line integrals; for example, the fact that work is equal to force, 'F', multiplied by displacement, 's', may be expressed (in terms of vector quantities) as:

For an object moving along a path C in a vector field 'F' such as an electric field or gravitational field, the total work done by the field on the object is obtained by summing up the differential work done in moving from 's' to 's' + d's'. This gives the line integral

A surface integral generalizes double integrals to integration over a surface (which may be a curved set in space); it can be thought of as the double integral analog of the line integral. The function to be integrated may be a scalar field or a vector field. The value of the surface integral is the sum of the field at all points on the surface. This can be achieved by splitting the surface into surface elements, which provide the partitioning for Riemann sums. For an example of applications of surface integrals, consider a vector field 'v' on a surface S; that is, for each point x in S, 'v'(x) is a vector. Imagine that a fluid flows through S, such that 'v'(x) determines the velocity of the fluid at x. The flux is defined as the quantity of fluid flowing through S in unit amount of time. To find the flux, one need to take the dot product of 'v' with the unit surface normal to S at each point, which will give a scalar field, which is integrated over the surface:

The fluid flux in this example may be from a physical fluid such as water or air, or from electrical or magnetic flux. Thus surface integrals have applications in physics, particularly with the classical theory of electromagnetism.

Контурлық интегралдар

Комплекстік талдауда интегралдағыш – нақты айнымалы x-тің нақты функциясы орнына, кешенді айнымалы z-тің кешенді мәнді функциясы болып табылады. Кешенді функция кешенді жазықтықтағы қисық бойымен интегралдағанда, интеграл келесідей белгіленеді.

Бұл контурлық интеграл деп аталады.

Қорытындылар

Интеграцияның дискретті эквиваленті – қосындылау. Қосындылар мен интегралдарды Лебег интегралдары теориясы немесе уақыт шкаласы есебін қолдана отырып, бірдей негізге келтіруге болады.

Функционалдық интегралдар

Функциялар кеңістігі бойынша, өзгергіш (немесе физикада кеңістік немесе уақыт өлшемдері) бойынша емес, орындалатын интеграл функционалдық интеграл деп аталады.

Қолданбалар

Интегралдар көптеген салаларда кеңінен қолданылады. Мысалы, ықтималдықтар теориясында интегралдар белгілі бір аралықта кездейсоқ айнымалының ықтималдығын анықтау үшін қолданылады. Сонымен қатар, толық ықтималдық тығыздық функциясының интегралы 1-ге тең болуы керек, бұл теріс мәндері жоқ функция тығыздық функциясы бола ала ма, жоқ па, деген сынақтан өтеді. Интегралдар қисық шекарасы бар екі өлшемді аймақтың ауданын және қисық шекарасы бар үш өлшемді дененің көлемін есептеу үшін де қолданылады. Екі өлшемді аймақтың ауданы жоғарыда аталған нақты интеграл арқылы есептеледі. Диск немесе шайба сияқты үш өлшемді дененің көлемін цилиндр көлеміне арналған теңдеуді қолдана отырып, диск интеграциясы арқылы есептеуге болады, онда радиус болады. Х осьінің айналысына байланысты жасалған қарапайым диск үшін радиус f(x) арқылы беріледі, ал оның биіктігі дифференциалдық dx болады. a және b шектері бар интегралды пайдаланып, диск көлемі: Интегралдар физикада да қолданылады, мысалы, кинематикада орын ауыстыру, уақыт және жылдамдық сияқты шамаларды табу үшін. Мысалы, тура сызықты қозғалыста, уақыт аралығындағы дененің орын ауыстыруы келесідей беріледі:

, мұнда жылдамдық уақыттың функциясы ретінде берілген. Күштің (орынның функциясы ретінде берілген) бастапқы орыннан соңғы орынға жасаған жұмысы:

Интегралдар термодинамикада да қолданылады, онда термодинамикалық интеграл екі берілген күй арасындағы еркін энергияның айырмасын есептеу үшін қолданылады.

Талдау

Бір нақты айнымалының белгілі интегралдарын есептеудің ең негізгі әдісі математикалық есептеудің негізгі теоремасына негізделген. f(x) функциясын [a, b] берілген аралықта интегралдау керек болсын. Онда f функциясының антитуындысын табыңыз, яғни F функциясын, оның туындысы интервалдағы f(x) функциясына тең болатын функцияны табыңыз. Егер интегралдағыш және интеграл интегралдау жолында ешқандай ерекшелікке ие болмаса, математикалық есептеудің негізгі теоремасы бойынша,

Кейде интегралдарды есептеу үшін әзірленген көптеген әдістердің біреуін қолдану қажет болады. Бұл әдістердің көпшілігі бір интегралды басқа, көбінесе шешуге оңайырақ интегралға түрлендіреді. Бұл әдістерге ауыстыру арқылы интегралдау, бөліктер арқылы интегралдау, тригонометриялық ауыстыру арқылы интегралдау және бөлшектерге жіктеу арқылы интегралдау жатады. Күрделі интегралдарды есептеу үшін баламалы әдістер де бар. Көптеген элементарлы емес интегралдарды Тейлор қатарымен кеңейтіп, мүшелеп интегралдауға болады. Кейде алынған шексіз қатарды аналитикалық түрде қосуға болады. Интегралдағышты Мейер G функцияларының көбейтіндісі түрінде жазу мүмкін болса, Мейер G функцияларын қолдана отырып, конволюция әдісін де қолдануға болады. Белгілі интегралдарды есептеудің тағы да көптеген сирек қолданылатын тәсілдері бар; мысалы, Парсевал тепе-теңдігін тіктөртбұрышты аймақтағы интегралды шексіз сомаға түрлендіру үшін пайдалануға болады. Кейде интегралды хитромен шешуге болады; мысалы, Гаусс интегралына қараңыз. Айналу денелерінің көлемін есептеу әдетте диск интегралы немесе қабық интегралы арқылы жасалады. Әртүрлі әдістермен алынған нақты нәтижелер интегралдар тізімінде жинақталған.

Символды

Математика, физика және инженерия салаларындағы көптеген мәселелер интегралдауды қамтиды, онда интегралдың нақты формуласы қажет болады. Осы мақсатта жылдар бойы интегралдардың кең кестелері жинақталған және жарияланған. Компьютерлердің таралуымен көптеген мамандар, оқытушылар және студенттер интегралдау сияқты күрделі немесе көбік жұмыс талап ететін міндеттерді орындауға арналған компьютерлік алгебра жүйелеріне жүгінді. Символдық интегралдау Macsyma және Maple сияқты алғашқы жүйелерді жасауға ықпал еткен маңызды факторлардың бірі болды. Символдық интегралдаудың басты математикалық қиындығы – көптеген жағдайларда салыстырмалы түрде қарапайым функциялардың интегралдары рационалдық және экспоненциалдық функцияларды, логарифмді, тригонометриялық және кері тригонометриялық функцияларды, сондай-ақ көбейту және композиция операцияларын ғана қолданатын жабық түрде өрнектеу мүмкін болмайды. Риш алгоритмі элементарлық функцияның антитуындысы элементарлық екенін анықтау және егер ол элементарлық болса, интегралды есептеу үшін жалпы критерий ұсынады. Дегенмен, антитуындысы жабық түрде өрнектелетін функциялар сирек кездеседі, сондықтан компьютерлік алгебра жүйелері кездейсоқ құрылған элементарлық функция үшін антитуынды табуға үміттенбеуі керек. Жақсы жағынан айтқанда, егер антитуынды үшін «құрылыс блоктары» алдын ала белгіленсе, онда берілген функцияның антитуындысын осы блоктар мен көбейту және композиция операцияларын қолдана отырып өрнектеуге болатынын анықтауға және ол бар болған жағдайда символдық жауапты табуға болады. Mathematica, Maple және басқа компьютерлік алгебра жүйелерінде жүзеге асырылған Риш алгоритмі рационалдық функциялар, радикалдар, логарифмдер және экспоненциалдық функциялардан құралған функциялар мен антитуындылар үшін осылай істейді. Кейбір арнайы интегралдар жиі кездесетін болғандықтан, оларды жеке зерттеу қажет. Атап айтқанда, антитуындылар жиынтығында Лежандр функциялары, гипергеометриялық функция, гамма функциясы, толық емес гамма функциясы және т.б. сияқты арнайы функцияларды қосу пайдалы болуы мүмкін. Риш алгоритмін осындай функцияларды қосуға кеңейтуге болады, бірақ бұл қиын және белсенді зерттеу тақырыбы болып табылады. Соңғы уақыттарда D-шекті функцияларды қолданатын жаңа тәсіл пайда болды, олар полиномдық коэффициенттері бар сызықтық дифференциалдық теңдеулердің шешімдері болып табылады. Көптеген элементарлық және арнайы функциялар D-шекті болып табылады, ал D-шекті функцияның интегралы да D-шекті функция болып табылады. Бұл D-шекті функцияның антитуындысын дифференциалдық теңдеудің шешімі ретінде беруге мүмкіндік беретін алгоритмді ұсынады. Бұл теория сондай-ақ D-функцияның белгілі интегралын бірінші коэффициенттермен берілген қатардың қосындысы ретінде есептеуге және кез келген коэффициентті есептеу алгоритмін ұсынады. Ережеге негізделген интегралдау жүйелері интегралдауды жеңілдетеді. Rubi, компьютерлік алгебра жүйесіндегі ережеге негізделген интегратор, интегралды есептеу үшін кең ауқымды символдық интегралдау ережелерінің үлгісін сәйкестендіреді. Бұл жүйе интегралды есептеу үшін 6600-нан астам интегралдау ережелерін қолданады. Бракеттер әдісі – Раманужанның шебер теоремасының жалпылауы, оны көптеген бір және көп айнымалы интегралдарға қолдануға болады. Интегралды анықтау үшін интегралдың қуат қатарының кеңеюінің коэффициенттері мен экспоненциалдық мүшелеріне ережелер жиынтығы қолданылады. Бұл әдіс Меллин трансформациясымен тығыз байланысты.

Many problems in mathematics, physics, and engineering involve integration where an explicit formula for the integral is desired. Extensive tables of integrals have been compiled and published over the years for this purpose. With the spread of computers, many professionals, educators, and students have turned to computer algebra systems that are specifically designed to perform difficult or tedious tasks, including integration. Symbolic integration has been one of the motivations for the development of the first such systems, like Macsyma and Maple. A major mathematical difficulty in symbolic integration is that in many cases, a relatively simple function does not have integrals that can be expressed in closed form involving only elementary functions, include rational and exponential functions, logarithm, trigonometric functions and inverse trigonometric functions, and the operations of multiplication and composition. The Risch algorithm provides a general criterion to determine whether the antiderivative of an elementary function is elementary and to compute the integral if is elementary. However, functions with closed expressions of antiderivatives are the exception, and consequently, computerized algebra systems have no hope of being able to find an antiderivative for a randomly constructed elementary function. On the positive side, if the 'building blocks' for antiderivatives are fixed in advance, it may still be possible to decide whether the antiderivative of a given function can be expressed using these blocks and operations of multiplication and composition and to find the symbolic answer whenever it exists. The Risch algorithm, implemented in Mathematica, Maple and other computer algebra systems, does just that for functions and antiderivatives built from rational functions, radicals, logarithm, and exponential functions. Some special integrands occur often enough to warrant special study. In particular, it may be useful to have, in the set of antiderivatives, the special functions (like the Legendre functions, the hypergeometric function, the gamma function, the incomplete gamma function and so on). Extending Risch's algorithm to include such functions is possible but challenging and has been an active research subject. More recently a new approach has emerged, using D finite functions, which are the solutions of linear differential equations with polynomial coefficients. Most of the elementary and special functions are D finite, and the integral of a D finite function is also a D finite function. This provides an algorithm to express the antiderivative of a D finite function as the solution of a differential equation. This theory also allows one to compute the definite integral of a D function as the sum of a series given by the first coefficients and provides an algorithm to compute any coefficient. Rule based integration systems facilitate integration. Rubi, a computer algebra system rule based integrator, pattern matches an extensive system of symbolic integration rules to integrate a wide variety of integrands. This system uses over 6600 integration rules to compute integrals. The method of brackets is a generalization of Ramanujan's master theorem that can be applied to a wide range of univariate and multivariate integrals. A set of rules are applied to the coefficients and exponential terms of the integrand's power series expansion to determine the integral. The method is closely related to the Mellin transform.

Сандық

Анықталған интегралдар сандық интегралдың бірнеше әдістерін қолдана отырып, шамамен есептелуі мүмкін. Тіктөртбұрыш әдісі функцияның графигі астындағы ауданды функцияның мәндеріне сәйкес тіктөртбұрыштар қатарына бөліп, соманы табу үшін қадамның еніне көбейтуге негізделген. Риман қосындысында қолданылатын тіктөртбұрыштардың орнына трапецияларды пайдалану трапеция ережесі деп аталады. Трапеция ережесі бірінші және соңғы мәндерді жартысына теңестіріп, қадамның еніне көбейтіп, жақсырақ жуықтауды қамтамасыз етеді. Трапеция ережесінің негізіндегі идея, функцияға қаншалықты дәл жуықтаса, интеграл да соншалықты дәл есептелінеді, осы принципті одан әрі дамытуға болады: Симпсон ережесі интегралдандырылатын функцияны бөлік-бөлікке квадраттық функциямен жуықтайды. Риман қосындысы, трапеция ережесі және Симпсон ережесі – бұл Ньютон-Котс формулалары деп аталатын квадраттау ережелерінің отбасының мысалдары. N-дәрежелі Ньютон-Котс квадраттау ережесі әрбір кіші интервалдағы полиномды n-дәрежелі полиноммен жуықтайды. Бұл полином функцияның мәндерін интервал бойынша интерполяциялау үшін таңдалады. Жоғары дәрежелі Ньютон-Котс жуықтамалары дәлірек болуы мүмкін, бірақ олар көбірек функцияларды бағалауды талап етеді және Рунж құбылысының салдарынан сандық қателіктерге ұшырауы мүмкін. Бұл мәселені шешудің бір жолы – Кленшоу-Куртис квадраттауын қолдану, онда интегралдандырылатын функция Чебышев полиномдары арқылы кеңейтілу арқылы жуықталады. Ромберг әдісі қадам енін кезең-кезеңмен екі есе азайтады, нәтижесінде трапеция жуықтамалары пайда болады, олар T(h0), T(h1) және т.б. деп белгіленеді, мұнда hk+1 – hk-нің жартысы. Әрбір жаңа қадам өлшемі үшін жаңа функция мәндерінің жартысы ғана есептелуі керек; қалғаны алдыңғы өлшемнен көшіріледі. Содан кейін ол жуықтамалар арқылы полиномды интерполяциялайды және T(0) мәніне экстраполяция жасайды. Гаусс квадраттау ортогональды полиномдар жиынының түбірлерінде функцияны бағалайды. n-нүктелі Гаусс әдісі 2n-1 дәрежесіне дейінгі полиномдар үшін дәл. Жоғары өлшемді интегралдарды есептеуде (мысалы, көлемді есептеуде) Монте-Карло интеграциясы сияқты балама әдістер маңызды рөл атқарады.

Definite integrals may be approximated using several methods of numerical integration. The rectangle method relies on dividing the region under the function into a series of rectangles corresponding to function values and multiplies by the step width to find the sum. A better approach, the trapezoidal rule, replaces the rectangles used in a Riemann sum with trapezoids. The trapezoidal rule weights the first and last values by one half, then multiplies by the step width to obtain a better approximation. The idea behind the trapezoidal rule, that more accurate approximations to the function yield better approximations to the integral, can be carried further: Simpson's rule approximates the integrand by a piecewise quadratic function. Riemann sums, the trapezoidal rule, and Simpson's rule are examples of a family of quadrature rules called the Newton–Cotes formulas. The degree n Newton–Cotes quadrature rule approximates the polynomial on each subinterval by a degree n polynomial. This polynomial is chosen to interpolate the values of the function on the interval. Higher degree Newton–Cotes approximations can be more accurate, but they require more function evaluations, and they can suffer from numerical inaccuracy due to Runge's phenomenon. One solution to this problem is Clenshaw–Curtis quadrature, in which the integrand is approximated by expanding it in terms of Chebyshev polynomials. Romberg's method halves the step widths incrementally, giving trapezoid approximations denoted by T(h0), T(h1), and so on, where hk+1 is half of hk. For each new step size, only half the new function values need to be computed; the others carry over from the previous size. It then interpolate a polynomial through the approximations, and extrapolate to T(0). Gaussian quadrature evaluates the function at the roots of a set of orthogonal polynomials. An n point Gaussian method is exact for polynomials of degree up to 2n − 1. The computation of higher dimensional integrals (for example, volume calculations) makes important use of such alternatives as Monte Carlo integration.

Механикалық

Кез келген екі өлшемді пішіннің ауданы планиметр деп аталатын өлшеу құралымен анықталады. Дұрыс емес нысандардың көлемін нысан суға батырылғанда ығыстырылған сұйықтың көлемі арқылы дәл өлшеуге болады.

Геометриялық

Кейде ауданды геометриялық циркуль мен сызғыш арқылы тең шамалас квадрат құрастыру арқылы табуға болады.

Дифференциациялау арқылы интеграциялау

Кемпф, Джексон және Моралес интегралды дифференциациялау арқылы есептеуге мүмкіндік беретін математикалық байланыстарды көрсетті. Олардың есептеу әдісінде Дирак дельта функциясы және дербес туынды операторы қолданылады. Бұл функционалдық интегралдарға да қатысты қолданылуы мүмкін, оларды функционалдық дифференциациялау арқылы есептеуге жол береді.