Введение

Операция в математическом анализе, понятие определённого интеграла в анализе.

В математике интеграл является непрерывным аналогом суммы, используемым для вычисления площадей, объёмов и их обобщений. Интегрирование, процесс вычисления интеграла, является одной из двух фундаментальных операций математического анализа, другой – дифференцирование. Интегрирование первоначально применялось для решения задач в математике и физике, таких как нахождение площади под кривой или определение перемещения по скорости. Область применения интегрирования впоследствии расширилась на широкий спектр научных дисциплин. Определённый интеграл вычисляет знако́вую площадь области на плоскости, ограниченной графиком заданной функции между двумя точками на числовой прямой. Обычно площади выше горизонтальной оси плоскости считаются положительными, а площади ниже – отрицательными. Интегралы также относятся к понятию первообразной – функции, производная которой равна заданной функции; в этом случае они также называются неопределёнными интегралами. Фундаментальная теорема математического анализа связывает определённое интегрирование с дифференцированием и предоставляет метод вычисления определённого интеграла функции, когда известна её первообразная; дифференцирование и интегрирование являются взаимообратными операциями. Хотя методы вычисления площадей и объёмов восходят к древнегреческой математике, принципы интегрирования были независимо сформулированы Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем в конце XVII века, которые рассматривали площадь под кривой как бесконечную сумму прямоугольников бесконечно малой ширины. Бернхард Риман позднее дал строгое определение интеграла, основанное на предельном процессе, который аппроксимирует площадь криволинейной области путём разбиения области на бесконечно тонкие вертикальные полосы. В начале XX века Анри Лебег обобщил формулировку Римана, введя то, что теперь называется интегралом Лебега; он более общий, чем интеграл Римана, в том смысле, что для него интегрируем более широкий класс функций. Интегралы могут быть обобщены в зависимости от типа функции, а также от области, по которой производится интегрирование. Например, криволинейный интеграл определяется для функций двух или более переменных, при этом интервал интегрирования заменяется кривой, соединяющей две точки в пространстве. В поверхностном интеграле кривая заменяется частью поверхности в трёхмерном пространстве.

Пре-калькуляционная интеграция

Первым задокументированным систематическим методом, способным определять интегралы, является метод исчерпания древнегреческого астронома Евдокса и философа Демокрита (ок. 370 до н.э.), который стремился находить площади и объемы, разбивая их на бесконечное число делений, для которых площадь или объем были известны. Этот метод был далее развит и применен Архимедом в III веке до н.э. и использовался для вычисления площади круга, площади поверхности и объема сферы, площади эллипса, площади под параболой, объема сегмента параболоида вращения, объема сегмента гиперболоида вращения и площади спирали. Схожий метод был независимо разработан в Китае около III века н.э. Лю Хуэйем, который использовал его для нахождения площади круга. Позже этот метод был применен в V веке китайскими математиками, отцом и сыном, Зу Чунчжи и Зу Гэном, для вычисления объема сферы. На Ближнем Востоке Хасан ибн аль-Хайсам, латинизированный как Альхазен (н.э.), вывел формулу для суммы четвертых степеней. Он использовал полученные результаты для выполнения того, что сейчас назвали бы интегрированием этой функции, где формулы для сумм интегральных квадратов и четвертых степеней позволили ему вычислить объем параболоида. Следующие значительные достижения в интегральном исчислении начали появляться только в XVII веке. В это время работы Кавальери с его методом неделимых и работы Ферма начали закладывать основы современного исчисления, при этом Кавальери вычислил интегралы x^n до определенной степени в формуле квадратур Кавальери. Случай n = −1 потребовал изобретения функции, гиперболического логарифма, что было достигнуто посредством квадратуры гиперболы в 1647 году. Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века Барроу и Торричелли, которые впервые указали на связь между интегрированием и дифференцированием. Барроу предоставил первое доказательство фундаментальной теоремы исчисления. Уоллис обобщил метод Кавальери, вычисляя интегралы x в общую степень, включая отрицательные и дробные степени.

Лейбниц и Ньютон

Основной прогресс в интегрировании произошел в 17 веке с независимым открытием фундаментальной теоремы математического анализа Лейбницем и Ньютоном. Эта теорема демонстрирует связь между интегрированием и дифференцированием. Эта связь, в сочетании с относительной простотой дифференцирования, позволяет вычислять интегралы. В частности, фундаментальная теорема математического анализа позволяет решать гораздо более широкий класс задач. Не менее важна всеобъемлющая математическая структура, разработанная как Лейбницем, так и Ньютоном. Получив название дифференциального и интегрального исчисления, она позволила проводить точный анализ функций с непрерывными областями определения. Эта структура в конечном итоге стала современным математическим анализом, обозначения для интегралов в котором напрямую заимствованы из работ Лейбница.

Формализация

Хотя Ньютон и Лейбниц разработали систематический подход к интегрированию, их работа не отличалась достаточной строгостью. Епископ Беркли остроумно критиковал бесконечно малые величины, используемые Ньютоном, называя их «призраками исчезнувших количеств». Математический анализ получил более надежную основу с развитием понятия предела. Риман впервые строго формализовал интегрирование, используя пределы. Несмотря на то, что все ограниченные кусочно-непрерывные функции интегрируемы по Риману на ограниченном интервале, впоследствии рассматривались более общие функции — особенно в контексте анализа Фурье, — к которым определение Римана неприменимо. Лебег сформулировал иное определение интеграла, основанное на теории меры (подраздел математического анализа). Были предложены и другие определения интеграла, расширяющие подходы Римана и Лебега. Эти подходы, основанные на системе действительных чисел, наиболее распространены в настоящее время, однако существуют альтернативные подходы, например, определение интеграла как стандартной части бесконечной суммы Римана, основанной на системе гипердействительных чисел.

Историческая обозначение

Обозначение неопределенного интеграла было введено Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 1675 году. Он заимствовал символ интеграла, ∫, из буквы ſ (длинная s), обозначающей сумму (написанную как summa; латинское слово для "суммы" или "общего количества"). Современное обозначение определенного интеграла, с пределами интегрирования над и под знаком интеграла, впервые использовал Жозеф Фурье в "Мемуарах" Французской академии примерно в 1819–1820 годах, а затем перепечатал в своей книге 1822 года. Исаак Ньютон использовал небольшую вертикальную черту над переменной для обозначения интегрирования или заключал переменную в рамку. Вертикальную черту легко можно было спутать с или x′, которые используются для обозначения дифференцирования, а обозначение рамкой было трудно воспроизвести типографам, поэтому эти обозначения не получили широкого распространения.

Первое использование термина

Термин был впервые напечатан на латыни Якобом Бернулли в 1690 году: "Ergo et horum Integralia aequantur".

Интерпретации

Интегралы возникают во многих практических ситуациях. Например, зная длину, ширину и глубину прямоугольного плавательного бассейна с плоским дном, можно определить объем воды, который он может вместить, площадь его поверхности и длину его края. Но если бассейн имеет овальную форму с округлым дном, для нахождения точных и строгих значений этих величин требуются интегралы. В каждом случае можно разделить искомую величину на бесконечно много бесконечно малых элементов, а затем просуммировать эти элементы, чтобы получить точное приближение. В качестве другого примера, чтобы найти площадь области, ограниченной графиком функции 1/f(x) между x = 0 и x = 1, можно разделить интервал на пять частей (0, 1/5, 2/5, ..., 1), затем построить прямоугольники, используя высоту правого конца каждого элемента (то есть) и суммировать их площади, чтобы получить приближение, которое будет больше точного значения. В качестве альтернативы, если заменить эти подинтервалы на подинтервалы с высотой, соответствующей левому концу каждого элемента, то полученное приближение будет слишком низким: при двенадцати таких подинтервалах приближенная площадь составит всего 0,6203. Однако, когда число элементов стремится к бесконечности, результат будет приближаться к пределу, который и является точным значением искомой площади (в данном случае, 2/3). Это записывается как

∫ f(x) dx = 2/3,

что означает, что 2/3 является результатом взвешенной суммы значений функции f(x), умноженной на бесконечно малые приращения, обозначаемые dx, на интервале [0, 1].

Формальные определения

Существует множество способов формального определения интеграла, и не все они эквивалентны. Различия в основном обусловлены необходимостью обработки различных частных случаев, которые могут быть не интегрируемыми при других определениях, но также иногда возникают и в образовательных целях. Наиболее распространенными определениями являются интеграл Римана и интеграл Лебега.

Неравенства

Ряд общих неравенств справедлив для интегрируемых по Риману функций, определенных на замкнутом и ограниченном интервале, и может быть обобщен на другие понятия интеграла (Лебега и Даниэля). Верхние и нижние границы. Интегрируемая функция f на [a, b] обязательно ограничена на этом интервале. Таким образом, существуют действительные числа m и M, такие что m ≤ f(x) ≤ M для всех x в [a, b]. Поскольку нижние и верхние суммы f по [a, b] соответственно ограничены снизу m(b − a) и сверху M(b − a), следует, что неравенства между функциями. Если f(x) ≤ g(x) для каждого x в [a, b], то каждая из верхних и нижних сумм f ограничена сверху верхней и нижней суммами g соответственно. Таким образом, это обобщение вышеуказанных неравенств, поскольку M(b − a) является интегралом постоянной функции со значением M на [a, b]. Кроме того, если неравенство между функциями строгое, то и неравенство между интегралами также строгое. То есть, если f(x) < g(x) для каждого x в [a, b], то субинтервалы. Если [c, d] является субинтервалом [a, b] и f(x) неотрицательна для всех x, то произведения и абсолютные значения функций. Если f и g – две функции, то мы можем рассмотреть их поточечные произведения и степени, а также абсолютные значения: если f является интегрируемой по Риману на [a, b], то то же самое верно и для |f|, и для f². Более того, если f и g обе интегрируемы по Риману, то fg также интегрируема по Риману, и это неравенство, известное как неравенство Коши — Буняковского — Шварца, играет заметную роль в теории гильбертовых пространств, где левая часть интерпретируется как внутреннее произведение двух квадратично интегрируемых функций f и g на интервале [a, b]. Неравенство Гёльдера. Предположим, что p и q – два действительных числа, 1 ≤ p, q ≤ ∞ при 1/p + 1/q = 1, и f и g – две интегрируемые по Риману функции. Тогда функции |f|^p и |g|^q также интегрируемы, и выполняется следующее неравенство Гёльдера: для 1 = p = q = 2 неравенство Гёльдера становится неравенством Коши — Буняковского — Шварца. Неравенство Минковского. Важное следствие, иногда называемое второй основной теоремой исчисления, позволяет вычислять интегралы, используя первообразную интегрируемой функции.

Многократная интеграция

Точно так же, как определенный интеграл положительной функции одной переменной представляет собой площадь области между графиком функции и осью x, двойной интеграл положительной функции двух переменных представляет собой объем области между поверхностью, определяемой функцией, и плоскостью, содержащей ее область определения. Например, функция в двух измерениях зависит от двух вещественных переменных, x и y, и интеграл функции f по прямоугольнику R, заданному как декартово произведение двух интервалов, может быть записан, где дифференциал dA указывает, что интегрирование производится по площади. Этот двойной интеграл можно определить с помощью сумм Римана и представляет собой (со знаком) объем под графиком функции f над областью R. При подходящих условиях (например, если f непрерывна), теорема Фубини утверждает, что этот интеграл может быть выражен как эквивалентный повторный интеграл. Это сводит задачу вычисления двойного интеграла к вычислению одномерных интегралов. В связи с этим, другое обозначение для интеграла по R использует знак двойного интеграла: используются различные криволинейные интегралы. В случае замкнутой кривой он также называется контурным интегралом. Интегрируемая функция может быть скалярным или векторным полем. Значение криволинейного интеграла – это сумма значений поля во всех точках кривой, взвешенная некоторой скалярной функцией на кривой (обычно длиной дуги или, для векторного поля, скалярным произведением векторного поля с дифференциальным вектором на кривой). Такое взвешивание отличает криволинейный интеграл от более простых интегралов, определенных на интервалах. Многие простые формулы в физике имеют естественные непрерывные аналоги в терминах криволинейных интегралов; например, тот факт, что работа равна силе, 'F', умноженной на перемещение, 's', может быть выражен (в терминах векторных величин) как: Для объекта, движущегося по пути C в векторном поле 'F', таком как электрическое поле или гравитационное поле, общая работа, совершаемая полем над объектом, получается путем суммирования дифференциальной работы, совершаемой при перемещении от 's' к 's' + d's'. Это дает криволинейный интеграл. Поверхностный интеграл обобщает двойные интегралы для интегрирования по поверхности (которая может быть криволинейным множеством в пространстве); его можно рассматривать как двойной интегральный аналог криволинейного интеграла. Интегрируемая функция может быть скалярным или векторным полем. Значение поверхностного интеграла – это сумма поля во всех точках поверхности. Этого можно достичь, разбив поверхность на поверхностные элементы, которые обеспечивают разбиение для сумм Римана. В качестве примера применения поверхностных интегралов рассмотрим векторное поле 'v' на поверхности S; то есть, для каждой точки x в S, 'v'(x) является вектором. Представьте, что жидкость течет через S, так что 'v'(x) определяет скорость жидкости в точке x. Поток определяется как количество жидкости, протекающей через S в единицу времени. Чтобы найти поток, необходимо взять скалярное произведение 'v' на единичный вектор нормали к S в каждой точке, что даст скалярное поле, которое интегрируется по поверхности: поток жидкости в этом примере может быть от физической жидкости, такой как вода или воздух, или от электрического или магнитного потока. Таким образом, поверхностные интегралы имеют применение в физике, особенно в классической теории электромагнетизма.

Контурные интегралы

В комплексном анализе подынтегральное выражение является функцией комплексной переменной z, принимающей комплексные значения, в отличие от функции вещественной переменной x. Когда комплексная функция интегрируется вдоль кривой на комплексной плоскости, интеграл обозначается следующим образом.

Это называется контурным интегралом.

Резюме

Дискретный эквивалент интегрирования — суммирование. Суммирование и интегралы можно основывать на одних и тех же принципах, используя теорию интеграла Лебега или исчисление временных масштабов.

Функциональные интегралы

Интеграл, вычисляемый не по переменной (или, в физике, по пространству или времени), а по пространству функций, называется функциональным интегралом.

Приложения

Интегралы широко используются во многих областях. Например, в теории вероятностей интегралы используются для определения вероятности того, что случайная величина примет значение в определенном диапазоне. Более того, интеграл под всей функцией плотности вероятности должен быть равен 1, что позволяет проверить, может ли функция без отрицательных значений являться функцией плотности. Интегралы могут использоваться для вычисления площади двумерной области с криволинейной границей, а также для вычисления объема трехмерного объекта с криволинейной границей. Площадь двумерной области можно вычислить с помощью вышеупомянутого определенного интеграла. Объем трехмерного объекта, такого как диск или шайба, можно вычислить методом дисков, используя формулу для объема цилиндра , где – радиус. В случае простого диска, образованного вращением кривой вокруг оси x, радиус задается f(x), а его высота – дифференциал dx. Используя интеграл с пределами a и b, объем диска равен: Интегралы также используются в физике, в таких областях, как кинематика, для определения величин, таких как перемещение, время и скорость. Например, при прямолинейном движении перемещение объекта за интервал времени определяется как:

где – скорость, выраженная как функция времени. Работа, совершаемая силой (заданной как функция положения) от начального положения до конечного положения равна:

Интегралы также используются в термодинамике, где термодинамическое интегрирование применяется для расчета разности свободной энергии между двумя заданными состояниями.

Аналитический

Наиболее базовый метод вычисления определённых интегралов одной вещественной переменной основан на фундаментальной теореме исчисления. Пусть f(x) – функция, которую необходимо проинтегрировать на заданном интервале [a, b]. Тогда найдите её первообразную F, то есть функцию, такую что на этом интервале. При условии, что подынтегральная функция и интеграл не имеют особенностей на пути интегрирования, согласно фундаментальной теореме исчисления,

Иногда необходимо использовать один из множества методов, разработанных для вычисления интегралов. Большинство из этих методов преобразуют один интеграл в другой, который, как правило, проще в вычислении. К таким методам относятся интегрирование заменой переменной, интегрирование по частям, интегрирование с использованием тригонометрической подстановки и интегрирование с помощью разложения на простейшие дроби. Существуют также альтернативные методы для вычисления более сложных интегралов. Многие неэлементарные интегралы можно разложить в ряд Тейлора и интегрировать почленно. Иногда полученные бесконечные ряды можно аналитически просуммировать. Также можно использовать метод свёртки с применением функций Мейджера G, при условии, что подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения функций Мейджера G. Существуют и менее распространённые способы вычисления определённых интегралов; например, тождество Парсеваля можно использовать для преобразования интеграла по прямоугольной области в бесконечную сумму. Иногда интеграл можно вычислить с помощью хитрости; пример – гауссов интеграл. Вычисление объёмов тел вращения обычно можно выполнить с помощью метода дисков или метода цилиндрических оболочек. Конкретные результаты, полученные различными методами, собраны в таблице интегралов.

Символический

Многие задачи в математике, физике и инженерии связаны с интегрированием, при котором требуется получить явную формулу для интеграла. Для этой цели на протяжении многих лет составлялись и публиковались обширные таблицы интегралов. С распространением компьютеров многие специалисты, преподаватели и студенты стали использовать системы компьютерной алгебры, специально разработанные для выполнения сложных или трудоемких задач, включая интегрирование. Символическое интегрирование было одной из мотиваций для разработки первых таких систем, как Macsyma и Maple. Основная математическая трудность в символическом интегрировании заключается в том, что во многих случаях интеграл относительно простой функции нельзя выразить в замкнутой форме, используя только элементарные функции, такие как рациональные и экспоненциальные функции, логарифм, тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции, а также операции умножения и композиции. Алгоритм Риша предоставляет общий критерий для определения, является ли первообразная элементарной функции элементарной, и для вычисления интеграла, если она элементарна. Однако функции, имеющие замкнутые выражения для первообразных, являются исключением, и, следовательно, системы компьютерной алгебры не могут надеяться найти первообразную для произвольной элементарной функции. Однако, если "строительные блоки" для первообразных определены заранее, все еще можно определить, может ли первообразная данной функции быть выражена с использованием этих блоков и операций умножения и композиции, и найти символьный ответ, когда он существует. Алгоритм Риша, реализованный в Mathematica, Maple и других системах компьютерной алгебры, делает именно это для функций и первообразных, построенных из рациональных функций, радикалов, логарифмов и экспоненциальных функций. Некоторые специальные подинтегральные функции встречаются достаточно часто, чтобы оправдать их специальное изучение. В частности, может быть полезно включать в набор первообразных специальные функции (например, функции Лежандра, гипергеометрическую функцию, гамма-функцию, неполную гамма-функцию и т. д.). Расширение алгоритма Риша для включения таких функций возможно, но сложно и является активной областью исследований. В последнее время появился новый подход, использующий D-конечные функции, которые являются решениями линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами. Большинство элементарных и специальных функций являются D-конечными, и интеграл D-конечной функции также является D-конечной функцией. Это обеспечивает алгоритм для представления первообразной D-конечной функции как решения дифференциального уравнения. Эта теория также позволяет вычислить определенный интеграл D-функции как сумму ряда, заданного первыми коэффициентами, и предоставляет алгоритм для вычисления любого коэффициента. Системы интегрирования, основанные на правилах, облегчают интегрирование. Rubi, система компьютерной алгебры, основанная на правилах, сопоставляет обширную систему правил символического интегрирования для интегрирования широкого спектра подинтегральных функций. Эта система использует более 6600 правил интегрирования для вычисления интегралов. Метод скобок является обобщением основной теоремы Рамануджана, который может быть применен к широкому спектру одно- и многомерных интегралов. Набор правил применяется к коэффициентам и экспоненциальным членам степенного разложения подинтегральной функции для определения интеграла. Этот метод тесно связан с преобразованием Меллина.

Числовое

Определенные интегралы можно приближенно вычислить с помощью нескольких методов численного интегрирования. Метод прямоугольников основан на делении области под функцией на ряд прямоугольников, соответствующих значениям функции, и умножении на ширину шага для нахождения суммы. Более эффективный подход – трапециевидное правило, которое заменяет прямоугольники, используемые в сумме Римана, на трапеции. Трапециевидное правило придает вес, равный половине, первому и последнему значениям, а затем умножает на ширину шага, чтобы получить более точное приближение. Идея, лежащая в основе трапециевидного правила, заключающаяся в том, что более точные приближения к функции дают лучшие приближения к интегралу, может быть развита дальше: правило Симпсона приближает подынтегральную функцию кусочно-квадратичной функцией. Суммы Римана, трапециевидное правило и правило Симпсона являются примерами семейства правил квадратуры, называемых формулами Ньютона-Котеса. Правило квадратуры Ньютона-Котеса степени n приближает многочлен на каждом подинтервале многочленом степени n. Этот многочлен выбирается для интерполяции значений функции на интервале. Приближения Ньютона-Котеса более высокой степени могут быть более точными, но они требуют большего числа вычислений функции и могут страдать от численной неточности из-за феномена Рунге. Одним из решений этой проблемы является квадратура Кленшоу-Кертиса, в которой подынтегральная функция приближается путем разложения ее в ряд по многочленам Чебышева. Метод Ромберга последовательно уменьшает ширину шага вдвое, получая трапециевидные приближения, обозначаемые T(h0), T(h1) и так далее, где hk+1 равно половине hk. Для каждого нового размера шага необходимо вычислить только половину новых значений функции; остальные значения переносятся с предыдущего размера шага. Затем строится интерполяционный многочлен по приближениям и выполняется экстраполяция к T(0). Квадратура Гаусса вычисляет функцию в корнях набора ортогональных многочленов. Метод Гаусса с n точками точен для многочленов степени не выше 2n − 1. Для вычисления многомерных интегралов (например, вычисления объемов) широко используются такие альтернативные методы, как интегрирование Монте-Карло.

Механические

Площадь произвольной двумерной фигуры можно определить с помощью измерительного прибора, называемого планиметром. Объем неправильных тел можно измерить с высокой точностью по объему вытесненной жидкости при погружении тела.

Геометрические

Площадь иногда можно определить с помощью геометрических построений с использованием циркуля и линейки, приводящих к равновеликому квадрату.

Интеграция путем дифференцирования

Кемпф, Джексон и Моралес продемонстрировали математические соотношения, позволяющие вычислять интеграл посредством дифференцирования. В их исчислении используются дельта-функция Дирака и оператор частной производной. Этот подход применим и к функциональным интегралам, позволяя вычислять их с помощью функционального дифференцирования.