Жордан-Пеано өлшемі және Лебег өлшемі: Математикалық анықтамалар мен айырмашылықтар
Peano–Jordan measure
Жордан өлшемі – геометриялық пішіннің көлемін анықтау тәсілі. Лебег өлшеміне қарағанда шектеулі, бірақ тарихи маңызы зор. Математикадағы негізгі түсініктер.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада, Пеано–Джордан өлшемі (кейде Джордан мазмұны деп те аталады) – өлшем (ұзындығы, ауданы, көлемі) ұғымын үшбұрыш, дөңгелек немесе параллелепипед сияқты қарапайым нысандардан гөрі күрделі нысандарға кеңейтеді. Бір жиынның Джордан өлшемі болуы үшін, ол белгілі бір шектеулер шеңберінде жақсы қасиеттерге ие болуы керек. Сондықтан қазір көбінесе Лебег өлшемі қолданылады, ол Джордан өлшемін одан да көп жиындықтар класына кеңейтеді. Тарихи тұрғыдан алғанда, Джордан өлшемі XIX ғасырдың соңында пайда болған. Тарихи себептерге байланысты, бұл жиындық функция үшін «Джордан өлшемі» термині қалыптасқан, бірақ қазіргі заманғы анықтама бойынша ол нағыз өлшем емес, себебі Джордан өлшенетін жиындықтар σ-алгебра құрамайды. Мысалы, әрбір жеке жиынның Джордан өлшемі 0-ге тең болса да, олардың саналатын біріктірілісі Джордан өлшенбейді. Осы себепті кейбір авторлар «Джордан мазмұны» терминін қолдануды ұсынады. Пеано–Джордан өлшемі оны жасаған француз математигі Камиль Джордан мен итальян математигі Джузеппе Пеаноның есімімен аталған.
In mathematics, the Peano–Jordan measure (also known as the Jordan content) is an extension of the notion of size (length, area, volume) to shapes more complicated than, for example, a triangle, disk, or parallelepiped. It turns out that for a set to have Jordan measure it should be well behaved in a certain restrictive sense. For this reason, it is now more common to work with the Lebesgue measure, which is an extension of the Jordan measure to a larger class of sets. Historically speaking, the Jordan measure came first, towards the end of the nineteenth century. For historical reasons, the term Jordan measure is now well established for this set function, despite the fact that it is not a true measure in its modern definition, since Jordan measurable sets do not form a σ algebra. For example, singleton sets in each have a Jordan measure of 0, while , a countable union of them, is not Jordan measurable. For this reason, some authors prefer to use the term Jordan content. The Peano–Jordan measure is named after its originators, the French mathematician Camille Jordan, and the Italian mathematician Giuseppe Peano.
Лебег шарасы
Бұл соңғы қасиет Иордания өлшеміне ие жиындықтардың түрлерін күрт шектейді. Мысалы, [0,1] аралығындағы рационал сандар жиыны Иордания өлшеміне ие емес, себебі оның шекарасы [0,1] болып табылады, ал бұл Иорданияның нөлдік өлшемі емес. Бірақ, рационал сандар жиыны санаулы болғандықтан "кішкентай" жиынтық болып есептеледі және оның "мөлшері" нөл болуы керек. Бұл рас, бірақ тек Джордан өлшемін Лебег өлшемімен алмастырғанда ғана. Егер жиынның Джордан өлшемі болса, онда жиынның Лебег өлшемі оның Джордан өлшемімен сәйкес келеді. Дегенмен, Лебег өлшемі жиындықтардың әлдеқайда кең класы үшін анықталған, мысалы, жоғарыда айтылған аралықтағы рационал сандар жиыны, сондай-ақ шексіз немесе фракталдар жиындары үшін де. Сонымен қатар, Лебег өлшемі, Джордан өлшемінен айырмасы, нағыз өлшем болып табылады, яғни Лебег өлшеміне ие жиындықтардың кез келген санаулы біріктірілісі де Лебег өлшеміне ие, ал Иордания өлшеміне ие жиындықтардың санаулы біріктірілісі міндетті түрде Иордания өлшеміне ие болмайды.
This last property greatly limits the types of sets which are Jordan measurable. For example, the set of rational numbers contained in the interval [0,1] is then not Jordan measurable, as its boundary is [0,1] which is not of Jordan measure zero. Intuitively however, the set of rational numbers is a "small" set, as it is countable, and it should have "size" zero. That is indeed true, but only if one replaces the Jordan measure with the Lebesgue measure. The Lebesgue measure of a set is the same as its Jordan measure as long as that set has a Jordan measure. However, the Lebesgue measure is defined for a much wider class of sets, like the set of rational numbers in an interval mentioned earlier, and also for sets which may be unbounded or fractals. Also, the Lebesgue measure, unlike the Jordan measure, is a true measure, that is, any countable union of Lebesgue measurable sets is Lebesgue measurable, whereas countable unions of Jordan measurable sets need not be Jordan measurable.