Мера Жордана-Пеано: Определение, свойства и сравнение с мерой Лебега.
Peano–Jordan measure
Мера Жордана: определение, свойства и отличие от меры Лебега. Расширение понятия длины, площади, объема для сложных фигур в математике. История и применение.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике мера Пеано — Жордана (также известная как содержание Жордана) является расширением понятия размера (длина, площадь, объем) на фигуры, более сложные, чем, например, треугольник, диск или параллелепипед. Оказывается, для того чтобы множество имело меру Жордана, оно должно быть достаточно хорошо себя вести в определенном смысле. По этой причине сейчас чаще используют меру Лебега, которая является расширением меры Жордана на более широкий класс множеств. Исторически мера Жордана появилась первой, в конце девятнадцатого века. По историческим причинам термин «мера Жордана» прочно закрепился за этой функцией множества, несмотря на то, что она не является мерой в современном определении, поскольку множества, измеримые по Жордану, не образуют σ-алгебру. Например, одноэлементные множества в каждом имеют меру Жордана 0, тогда как их счетное объединение не является измеримым по Жордану. По этой причине некоторые авторы предпочитают использовать термин «содержание Жордана». Мера Пеано — Жордана названа в честь её создателей, французского математика Камиля Жордана и итальянского математика Джузеппе Пеано.
In mathematics, the Peano–Jordan measure (also known as the Jordan content) is an extension of the notion of size (length, area, volume) to shapes more complicated than, for example, a triangle, disk, or parallelepiped. It turns out that for a set to have Jordan measure it should be well behaved in a certain restrictive sense. For this reason, it is now more common to work with the Lebesgue measure, which is an extension of the Jordan measure to a larger class of sets. Historically speaking, the Jordan measure came first, towards the end of the nineteenth century. For historical reasons, the term Jordan measure is now well established for this set function, despite the fact that it is not a true measure in its modern definition, since Jordan measurable sets do not form a σ algebra. For example, singleton sets in each have a Jordan measure of 0, while , a countable union of them, is not Jordan measurable. For this reason, some authors prefer to use the term Jordan content. The Peano–Jordan measure is named after its originators, the French mathematician Camille Jordan, and the Italian mathematician Giuseppe Peano.
Меры Лебеге
Это последнее свойство сильно ограничивает типы множеств, обладающих мерой Жордана. Например, множество рациональных чисел, содержащихся в интервале [0,1], не является измеримым по Жордану, поскольку его границей является [0,1], которая не имеет меры Жордана, равной нулю. Однако, интуитивно, множество рациональных чисел является "малым", так как оно счетно и должно иметь "размер" равный нулю. Это действительно так, но лишь при замене меры Жордана на меру Лебега. Мера Лебега множества совпадает с его мерой Жордана, если мера Жордана существует. Однако мера Лебега определена для гораздо более широкого класса множеств, например, для множества рациональных чисел в интервале, упомянутом выше, а также для неограниченных множеств или фракталов. Кроме того, в отличие от меры Жордана, мера Лебега является истинной мерой, то есть любое счетное объединение множеств, измеримых по Лебегу, само измеримо по Лебегу, в то время как счетные объединения множеств, измеримых по Жордану, не обязаны быть измеримыми по Жордану.
This last property greatly limits the types of sets which are Jordan measurable. For example, the set of rational numbers contained in the interval [0,1] is then not Jordan measurable, as its boundary is [0,1] which is not of Jordan measure zero. Intuitively however, the set of rational numbers is a "small" set, as it is countable, and it should have "size" zero. That is indeed true, but only if one replaces the Jordan measure with the Lebesgue measure. The Lebesgue measure of a set is the same as its Jordan measure as long as that set has a Jordan measure. However, the Lebesgue measure is defined for a much wider class of sets, like the set of rational numbers in an interval mentioned earlier, and also for sets which may be unbounded or fractals. Also, the Lebesgue measure, unlike the Jordan measure, is a true measure, that is, any countable union of Lebesgue measurable sets is Lebesgue measurable, whereas countable unions of Jordan measurable sets need not be Jordan measurable.