92 дөңгелек көпжақтың геометриясы: барлық жақтары дұрыс көпбұрыштар

Кіріспе

92 біртекті емес дөңес көпжақ, мұнда әр беті тұрақты көпбұрыштан тұрады.

Геометрияда Джонсон денесі – әр беті тұрақты көпбұрыш болатын қатаң дөңес көпжақ. Әр беттің бірдей көпбұрыш болуы немесе бірдей көпбұрыштардың әр төбесіне жалғасуы міндетті емес. Джонсон денесінің мысалы – теңқабырғалы қабырғалары бар тікбұрышты пирамида; оның 1 шаршы беті және 4 үшбұрышты беті бар. Кейбір авторлар қатты денені «Джонсон денесі» деп атау үшін оның біртекті болмауы керек (яғни Платон денесі, Архимед денесі, біртекті призма немесе біртекті антипризма емес). Кез келген қатаң дөңес денеде сияқты, әр төбеде кем дегенде үш бет кездеседі және олардың бұрыштарының қосындысы 360 градустан кем. Тұрақты көпбұрыштың бұрыштары кем дегенде 60 градус болғандықтан, кез келген төбеде ең көп дегенде бес бет кездеседі. Бесбұрышты пирамида – 5 градустық төбесі бар мысал. Кез келген берілген тұрақты көпбұрыштың Джонсон денесінің беті бола алмайтыны айқын емес, бірақ біртекті емес Джонсон денелерінің беттері (яғни Платон денесі, Архимед денесі, біртекті призмалар немесе біртекті антипризмалар емес) әрқашан 3, 4, 5, 6, 8 немесе 10 қабырғалы болады. 1966 жылы Норман Джонсон барлық 92 Джонсон денесін (Платонның 5 денесін, Архимедтің 13 денесін, шексіз көп біртекті призмаларды және шексіз көп біртекті антипризмаларды қоспағанда) қамтитын тізімді жариялады және оларға атаулар мен нөмірлер берді. Ол тек 92 ғана екенін дәлелдемеді, бірақ басқалары жоқ деп болжады. 1969 жылы Виктор Залгаллер Джонсонның тізімі толық екенін дәлелдеді. Джонсон денелерінің ішіндегі созылған шаршылы гиробикупола, сондай-ақ псевдоромбикубоктаэдр деп аталатын дене, жергілікті төбелік біртектілігімен ерекшеленеді: әр төбеде 4 бет бар, олардың орналасуы әрқашан бірдей: 3 шаршы және 1 үшбұрыш. Алайда, ол төбелік транзитивті емес, өйткені әртүрлі төбелерінде әртүрлі изометрия бар, бұл оны Архимед денесі емес, Джонсон денесіне айналдырады. 92 Джонсон денесінің 87-сі Руперт қасиетіне ие: сол немесе одан үлкен пішіндегі дененің көшірмесі дененің тесігі арқылы өте алады.

In geometry, a Johnson solid is a strictly convex polyhedron each face of which is a regular polygon. There is no requirement that each face must be the same polygon, or that the same polygons join around each vertex. An example of a Johnson solid is the square based pyramid with equilateral sides ; it has 1 square face and 4 triangular faces. Some authors require that the solid not be uniform (i. e., not Platonic solid, Archimedean solid, uniform prism, or uniform antiprism) before they refer to it as a "Johnson solid". As in any strictly convex solid, at least three faces meet at every vertex, and the total of their angles is less than 360 degrees. Since a regular polygon has angles at least 60 degrees, it follows that at most five faces meet at any vertex. The pentagonal pyramid is an example that has a degree 5 vertex. Although there is no obvious restriction that any given regular polygon cannot be a face of a Johnson solid, it turns out that the faces of Johnson solids which are not uniform (i. e., not a Platonic solid, Archimedean solid, uniform prism, or uniform antiprism) always have 3, 4, 5, 6, 8, or 10 sides. In 1966, Norman Johnson published a list which included all 92 Johnson solids (excluding the 5 Platonic solids, the 13 Archimedean solids, the infinitely many uniform prisms, and the infinitely many uniform antiprisms), and gave them their names and numbers. He did not prove that there were only 92, but he did conjecture that there were no others. Victor Zalgaller in 1969 proved that Johnson's list was complete. Of the Johnson solids, the elongated square gyrobicupola , also called the pseudorhombicuboctahedron, is unique in being locally vertex uniform: there are 4 faces at each vertex, and their arrangement is always the same: 3 squares and 1 triangle. However, it is not vertex transitive, as it has different isometry at different vertices, making it a Johnson solid rather than an Archimedean solid. 87 of the 92 Johnson solids have the Rupert property: a copy of the solid, of the same or larger shape, can be passed through a hole in the solid.

Пирамидалар, күмбездер және ротондалар

Алғашқы 6 Джонсон қатты денелері пирамидалар, куполалар немесе ең көп дегенде 5 бүйір жақтары бар ротондалар болып табылады. 6 немесе одан көп бүйір жақтары бар пирамидалар мен куполалар бір жазықтықта жатады, сондықтан олар Джонсон қатты денелері емес.

Өзгертілген пирамидалар

Джонсонның 7-ден 17-ге дейінгі қатты денелері пирамидалар негізінде жасалған.

Өзгертілген күмбездер мен ротондалар

Джонсондық денелер 18-ден 48-ге дейін күмбездер мен ротондалардан туындайды.

Өзгертілген платондық қатты заттар

Джонсонның 58-ден 64-ке дейінгі қатты денелері Платондық қатты денелерге қосымша элементтер қосу немесе олардан элементтер алып тастау арқылы жасалады.

Архимедтің модификацияланған қатты денелері

Джонсонның 65-тен 83-ке дейінгі денелері Архимед денелерін кеңейту, кеміту немесе бұралау арқылы жасалады.

Элементар қатты заттар

Джонсонның 84-ден 92-ге дейінгі қатты денелері біртекті қатты денелерді "кесіп-жабыстыру" амалдары арқылы туындамаған.