92 Неоднородных Выпуклых Многогранников с Правильными Гранями

Введение

92 не однородных выпуклых многогранников, каждое из которых имеет грани, являющиеся правильными многоугольниками.

В геометрии, многогранник Джонсона — это строго выпуклый многогранник, каждая грань которого является правильным многоугольником. Нет требования, чтобы все грани были одинаковыми многоугольниками или чтобы вокруг каждой вершины сходились одни и те же многоугольники. Примером многогранника Джонсона является квадратная пирамида с равносторонними боковыми гранями; она имеет 1 квадратную грань и 4 треугольные грани. Некоторые авторы требуют, чтобы многогранник не был однородным (то есть не платоновым телом, архимедовым телом, однородной призмой или однородной антипризмой), прежде чем называть его «многогранником Джонсона». Как и в любом строго выпуклом многограннике, в каждой вершине сходятся как минимум три грани, и сумма их углов меньше 360 градусов. Поскольку у правильного многоугольника углы не меньше 60 градусов, следует, что в любой вершине сходятся не более пяти граней. Пятиугольная пирамида является примером, имеющим вершину 5-й степени. Хотя нет очевидного ограничения на то, что любой данный правильный многоугольник не может быть гранью многогранника Джонсона, оказывается, что грани многогранников Джонсона, которые не являются однородными (то есть не платоновыми телами, архимедовыми телами, однородными призмами или однородными антипризмами), всегда имеют 3, 4, 5, 6, 8 или 10 сторон. В 1966 году Норман Джонсон опубликовал список, включающий все 92 многогранника Джонсона (за исключением 5 платоновых тел, 13 архимедовых тел, бесконечного множества однородных призм и бесконечного множества однородных антипризм), и присвоил им имена и номера. Он не доказал, что их всего 92, но предположил, что других не существует. Виктор Залгаллер в 1969 году доказал, что список Джонсона полон. Среди многогранников Джонсона удлиненная квадратная гиробикупола, также называемая псевдоромбикубоктаэдром, уникальна тем, что локально однородна по вершинам: в каждой вершине сходятся 4 грани, и их расположение всегда одинаково: 3 квадрата и 1 треугольник. Однако она не является вершинно-транзитивной, поскольку имеет разную изометрию в разных вершинах, что делает её многогранником Джонсона, а не архимедовым телом. 87 из 92 многогранников Джонсона обладают свойством Руперта: копию многогранника, той же или большей формы, можно пропустить через отверстие в многограннике.

In geometry, a Johnson solid is a strictly convex polyhedron each face of which is a regular polygon. There is no requirement that each face must be the same polygon, or that the same polygons join around each vertex. An example of a Johnson solid is the square based pyramid with equilateral sides ; it has 1 square face and 4 triangular faces. Some authors require that the solid not be uniform (i. e., not Platonic solid, Archimedean solid, uniform prism, or uniform antiprism) before they refer to it as a "Johnson solid". As in any strictly convex solid, at least three faces meet at every vertex, and the total of their angles is less than 360 degrees. Since a regular polygon has angles at least 60 degrees, it follows that at most five faces meet at any vertex. The pentagonal pyramid is an example that has a degree 5 vertex. Although there is no obvious restriction that any given regular polygon cannot be a face of a Johnson solid, it turns out that the faces of Johnson solids which are not uniform (i. e., not a Platonic solid, Archimedean solid, uniform prism, or uniform antiprism) always have 3, 4, 5, 6, 8, or 10 sides. In 1966, Norman Johnson published a list which included all 92 Johnson solids (excluding the 5 Platonic solids, the 13 Archimedean solids, the infinitely many uniform prisms, and the infinitely many uniform antiprisms), and gave them their names and numbers. He did not prove that there were only 92, but he did conjecture that there were no others. Victor Zalgaller in 1969 proved that Johnson's list was complete. Of the Johnson solids, the elongated square gyrobicupola , also called the pseudorhombicuboctahedron, is unique in being locally vertex uniform: there are 4 faces at each vertex, and their arrangement is always the same: 3 squares and 1 triangle. However, it is not vertex transitive, as it has different isometry at different vertices, making it a Johnson solid rather than an Archimedean solid. 87 of the 92 Johnson solids have the Rupert property: a copy of the solid, of the same or larger shape, can be passed through a hole in the solid.

Пирамиды, купола и ротонда

Первые 6 тел Джонсона — это пирамиды, купола или ротонды, имеющие не более 5 боковых граней. Пирамиды и купола с 6 или более боковыми гранями являются плоскими и, следовательно, не являются телами Джонсона.

Модифицированные пирамиды

Твердые тела Джонсона с 7 по 17 происходят от пирамид.

Модифицированные купола и ротонда

Твердые тела Джонсона с 18 по 48 происходят от куполов и ротонд.

Модифицированные платонические твердые вещества

Твердые тела Джонсона с 58 по 64 строятся путем добавления или отсечения элементов от платонических тел.

Модифицированные Архимедовы твердые тела

Твердые тела Джонсона с 65 по 83 строятся путём добавления, усечения или скручивания Архимедовых многогранников.

Элементарные твердые вещества

Твердые тела Джонсона с 84 по 92 не получены в результате операций "вырезания и вставки" из однородных многогранников.