Кіріспе
Топологиялық кеңістіктегі абельдік топтардың жергілікті тұрақты шоғы
Математикада, топологиялық кеңістік X-тегі жергілікті жүйе (немесе жергілікті коэффициенттер жүйесі) – бұл алгебралық топологияның құралы, ол белгілі бір абельдік топ A-дағы коэффициенттері бар когомология және нүктеден нүктеге өзгеретін коэффициенттері бар жалпы шоғы когомологиясы арасында интерполяция жасайды. Жергілікті коэффициенттер жүйесін 1943 жылы Норман Стинрод енгізген. Жергілікті жүйелер – құрастырылатын және бұрыс шоғы сияқты, көбірек жалпы құралдардың құрылыс блоктары болып табылады.
Анықтама
X топологиялық кеңістік болсын. X-тегі жергілікті жүйе (абельдік топтар/модульдер/) – X-тегі жергілікті тұрақты шоғыр (абельдік топтар/модульдер). Басқаша айтқанда, шоғыр егер әрбір нүкте үшін, шектеулі шоғыр сол нүктенің ашық маңында тұрақты прешоғырдың шоғырлауына изоморфты болатын ашық маң болса, ол жергілікті жүйе болып табылады.
Жолмен байланысты кеңістік
Егер X жолмен байланысқан болса, абельдік топтардың жергілікті жүйесінің кез келген нүктеде бірдей сабағы болады. X-тегі жергілікті жүйелер мен топтық гомоморфизмдер арасында, сондай-ақ модульдердің жергілікті жүйелері үшін де біржақты сәйкестік бар. Жергілікті жүйені анықтайтын бейнелеу монодромиялық өкілдік деп аталады. Бұл (X жолмен байланысқан жағдайда) жергілікті жүйенің X-тің әмбебап жабынына кері тартылғанда тұрақты шоқ болатынын көрсетеді. Бұл сәйкестікті X-тегі абельдік топтардың жергілікті жүйелері санаты мен, эквивалентті түрде, модульдермен жабдықталған абельдік топтар санаты арасындағы категориялардың эквиваленттілігіне дейін жетілдіруге болады.
and similarly for local systems of modules. The map giving the local system is called the monodromy representation of
This shows that (for X path connected) a local system is precisely a sheaf whose pullback to the universal cover of X is a constant sheaf. This correspondence can be upgraded to an equivalence of categories between the category of local systems of abelian groups on X and the category of abelian groups endowed with an action of (equivalently, modules).
Мысалдар
Тұрақты шоғырлар, мысалы, бұл когомологияны есептеу үшін пайдалы құрал, өйткені жақсы жағдайларда, шоғыр когомологиясы мен ерекше когомология арасында изоморфизм бар:
Let Since , there is an family of local systems on X corresponding to the maps :
Horizontal sections of vector bundles with a flat connection. If is a vector bundle with flat connection , then there is a local system given by For instance, take and , the trivial bundle. Sections of E are n tuples of functions on X, so defines a flat connection on E, as does for any matrix of one forms on X. The horizontal sections are then</p> i. e., the solutions to the linear differential equation If extends to a one form on the above will also define a local system on , so will be trivial since So to give an interesting example, choose one with a pole at 0: in which case for ,
An n sheeted covering map is a local system with fibers given by the set Similarly, a fibre bundle with discrete fibre is a local system, because each path lifts uniquely to a given lift of its basepoint. (The definition adjusts to include set valued local systems in the obvious way). A local system of k vector spaces on X is equivalent to a k linear representation of
If X is a variety, local systems are the same thing as D modules which are additionally coherent O X modules (see O modules). If the connection is not flat (i. e. its curvature is nonzero), then parallel transport of a fibre F x over x around a contractible loop based at x 0 may give a nontrivial automorphism of F x, so locally constant sheaves can not necessarily be defined for non flat connections. The Gauss–Manin connection is a prominent example of a connection whose horizontal sections are studied in relation to variation of Hodge structures.
Айырықша жағдайларда, X-тегі карталарға сәйкес жергілікті жүйелердің отбасы бар:
Let Since , there is an family of local systems on X corresponding to the maps :
Horizontal sections of vector bundles with a flat connection. If is a vector bundle with flat connection , then there is a local system given by For instance, take and , the trivial bundle. Sections of E are n tuples of functions on X, so defines a flat connection on E, as does for any matrix of one forms on X. The horizontal sections are then</p> i. e., the solutions to the linear differential equation If extends to a one form on the above will also define a local system on , so will be trivial since So to give an interesting example, choose one with a pole at 0: in which case for ,
An n sheeted covering map is a local system with fibers given by the set Similarly, a fibre bundle with discrete fibre is a local system, because each path lifts uniquely to a given lift of its basepoint. (The definition adjusts to include set valued local systems in the obvious way). A local system of k vector spaces on X is equivalent to a k linear representation of
If X is a variety, local systems are the same thing as D modules which are additionally coherent O X modules (see O modules). If the connection is not flat (i. e. its curvature is nonzero), then parallel transport of a fibre F x over x around a contractible loop based at x 0 may give a nontrivial automorphism of F x, so locally constant sheaves can not necessarily be defined for non flat connections. The Gauss–Manin connection is a prominent example of a connection whose horizontal sections are studied in relation to variation of Hodge structures.
Жезді байланысы бар векторлық бумблдердің көлденең қималары. Егер жазық байланысы бар векторлық бумбл болса, онда мысалы, және тривиальді бумблдер арқылы берілген жергілікті жүйе бар. E қималары – X-тегі функциялардың n-топтамасы, сондықтан E-дегі жазық байланысты анықтайды, сондай-ақ X-тегі бір форманың кез келген матрицасы үшін. Көлденең қималар – яғни, сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімдері. Егер жоғарыда көрсетілген бір формаға дейін созылса, онда жергілікті жүйе анықталады, сондықтан ол тривиальды болады. Сондықтан, қызықты мысал келтіру үшін, 0-де полюсі бар біреуін таңдаңыз: бұл жағдайда, n-жапқыш картасы жиынтықтармен берілген талшықтармен жергілікті жүйе болып табылады. Сол сияқты, дискретті талшықты талшық бумасы жергілікті жүйе болып табылады, өйткені әрбір жол өзінің базалық нүктесінің берілген көтерілуіне бірегей түрде көтеріледі. (Анықтама жергілікті жүйелерді қамту үшін тиісті түрде өзгертіледі). X-тегі k векторлық кеңістіктердің жергілікті жүйесі k сызықтық бейнелеуге тең. Егер X – сан алуан болса, жергілікті жүйелер қосымша когерентті O X модульдері болып табылатын D модульдерімен бірдей (O модульдерін қараңыз). Егер байланыс жазық болмаса (яғни оның қисықтығы нөлден өзгеше болса), онда F x x x-тің x 0-де негізделген қысқа циклдың айналасындағы параллель көшіру F x-тың тривиальды емес автоморфизмін бере алады, сондықтан жергілікті тұрақты шоғырлар міндетті түрде жазық емес байланыстар үшін анықталмайды. Гаусс-Маннин байланысы – Ходж құрылымының өзгеруімен байланысты көлденең қималары зерттелетін байланыстың көрнекті мысалы.
Let Since , there is an family of local systems on X corresponding to the maps :
Horizontal sections of vector bundles with a flat connection. If is a vector bundle with flat connection , then there is a local system given by For instance, take and , the trivial bundle. Sections of E are n tuples of functions on X, so defines a flat connection on E, as does for any matrix of one forms on X. The horizontal sections are then</p> i. e., the solutions to the linear differential equation If extends to a one form on the above will also define a local system on , so will be trivial since So to give an interesting example, choose one with a pole at 0: in which case for ,
An n sheeted covering map is a local system with fibers given by the set Similarly, a fibre bundle with discrete fibre is a local system, because each path lifts uniquely to a given lift of its basepoint. (The definition adjusts to include set valued local systems in the obvious way). A local system of k vector spaces on X is equivalent to a k linear representation of
If X is a variety, local systems are the same thing as D modules which are additionally coherent O X modules (see O modules). If the connection is not flat (i. e. its curvature is nonzero), then parallel transport of a fibre F x over x around a contractible loop based at x 0 may give a nontrivial automorphism of F x, so locally constant sheaves can not necessarily be defined for non flat connections. The Gauss–Manin connection is a prominent example of a connection whose horizontal sections are studied in relation to variation of Hodge structures.
Кохомология
Жергілікті жүйенің кохомологиясын анықтаудың бірнеше тәсілі бар, олар жергілікті коэффициенттері бар кохомология деп аталады, және X-тегі шарттар жеткілікті болса, олар баламалы болады. X-тегі абельдік топтардың жергілікті тұрақты шоғы берілгенде, бізде шоқтың кохомология топтары болады. Бұл шоқ бойынша коэффициенттері бар кохомологияны қарастырайық. X-тегі абельдік топтардың жергілікті тұрақты шоғы берілгенде, әрбір жеке n-симплекстің шоқтың кері бейнесінен алынған глобальды қимасына жіберілген f функцияларының барлық жиыны болады. Бұл топтарды әдеттегі жеке кохомологиядағыдай дифференциалдармен құрылған коцейн кешеніне айналдыруға болады. Осы кешеннің кохомологиясын деп анықтаймыз. X-тің әмбебап жабынындағы жеке n-тізбектер тобы палубалық түрлендірулердің әрекетіне ие. Нақтырақ айтқанда, палубалық түрлендіру жеке n-симплексті жібереді. Содан кейін, әрекетімен жабдықталған абельдік топ L берілгенде, жоғарыда көрсетілгендей эквивариантты гомоморфизмдер топтарынан коцейн кешенін құруға болады. Осы кешеннің кохомологиясын деп анықтаймыз. Егер X паракомпакт және жергілікті түрде сығылатын болса, онда L-ге сәйкес жергілікті жүйе болса, онда дифференциалдармен үйлесімді сәйкестендіру бар, сондықтан .
Given a locally constant sheaf of abelian groups on X, let be the group of all functions f which map each singular n simplex to a global section of the inverse image sheaf These groups can be made into a cochain complex with differentials constructed as in usual singular cohomology. Define to be the cohomology of this complex. The group of singular n chains on the universal cover of X has an action of by deck transformations. Explicitly, a deck transformation takes a singular n simplex to Then, given an abelian group L equipped with an action of , one can form a cochain complex from the groups of equivariant homomorphisms as above. Define to be the cohomology of this complex. If X is paracompact and locally contractible, then If is the local system corresponding to L, then there is an identification compatible with the differentials, so .
Қолданбалар
Бағыттама жабуға сәйкес келетін модульдегі жергілікті коэффициенттері бар кохомологияны бағытталмаған көпқырлылар үшін Пуанкаре дуалдығын тұжырымдау үшін пайдалануға болады: қараңыз, Бұрылған Пуанкаре дуалдығы.