Введение
Локально постоянный сноп абелевых групп на топологическом пространстве
В математике локальная система (или система локальных коэффициентов) на топологическом пространстве X — это инструмент из алгебраической топологии, который осуществляет интерполяцию между когомологиями с коэффициентами в фиксированной абелевой группе A и общей когомологией снопов, в которой коэффициенты меняются от точки к точке. Системы локальных коэффициентов были введены Норманом Стинродом в 1943 году. Локальные системы являются строительными блоками для более общих инструментов, таких как конструктивные и перверсивные снопы.
Определение
Пусть X — топологическое пространство. Локальная система (абелевых групп/модулей/) на X — это локально постоянный пучок (абелевых групп/модулей/) на X. Иными словами, пучок является локальной системой, если для каждой точки существует открытое окрестность, такая что ограничение пучка на эту окрестность изоморфно sheafification некоторого постоянного предпучка.
Пространства, связанные с дорожкой
Если X связен по путям, то локальная система абелевых групп имеет одинаковый слой в каждой точке. Существует биективное соответствие между локальными системами на X и групповыми гомоморфизмами, и аналогично для локальных систем модулей. Отображение, задающее локальную систему, называется представлением монодромии. Это показывает, что (при связности X по путям) локальная система является, по сути, пучком, чей обратный образ к универсальному накрытию X является постоянным пучком. Это соответствие можно расширить до эквивалентности категорий между категорией локальных систем абелевых групп на X и категорией абелевых групп, снабженных действием (эквивалентно, модулей).
and similarly for local systems of modules. The map giving the local system is called the monodromy representation of
This shows that (for X path connected) a local system is precisely a sheaf whose pullback to the universal cover of X is a constant sheaf. This correspondence can be upgraded to an equivalence of categories between the category of local systems of abelian groups on X and the category of abelian groups endowed with an action of (equivalently, modules).
Примеры
Это полезный инструмент для вычисления когомологий, поскольку в благоприятных ситуациях существует изоморфизм между когомологиями снопов и сингулярными когомологиями:
Let Since , there is an family of local systems on X corresponding to the maps :
Horizontal sections of vector bundles with a flat connection. If is a vector bundle with flat connection , then there is a local system given by For instance, take and , the trivial bundle. Sections of E are n tuples of functions on X, so defines a flat connection on E, as does for any matrix of one forms on X. The horizontal sections are then</p> i. e., the solutions to the linear differential equation If extends to a one form on the above will also define a local system on , so will be trivial since So to give an interesting example, choose one with a pole at 0: in which case for ,
An n sheeted covering map is a local system with fibers given by the set Similarly, a fibre bundle with discrete fibre is a local system, because each path lifts uniquely to a given lift of its basepoint. (The definition adjusts to include set valued local systems in the obvious way). A local system of k vector spaces on X is equivalent to a k linear representation of
If X is a variety, local systems are the same thing as D modules which are additionally coherent O X modules (see O modules). If the connection is not flat (i. e. its curvature is nonzero), then parallel transport of a fibre F x over x around a contractible loop based at x 0 may give a nontrivial automorphism of F x, so locally constant sheaves can not necessarily be defined for non flat connections. The Gauss–Manin connection is a prominent example of a connection whose horizontal sections are studied in relation to variation of Hodge structures.
Пусть , существует семейство локальных систем на X, соответствующих отображениям: Горизонтальные сечения векторных расслоений с плоским связным оператором. Если — векторное расслоение с плоским связным оператором , то существует локальная система, заданная, например, тривиальным расслоением. Сечения E являются n-кортежами функций на X, поэтому определяет плоский связный оператор на E, как и для любой матрицы дифференциальных форм на X. Горизонтальные сечения, таким образом, являются, то есть решениями линейного дифференциального уравнения. Если продолжается до дифференциальной формы на , то вышеуказанное также будет определять локальную систему на , которая будет тривиальной, поскольку. Чтобы привести интересный пример, выберем функцию с полюсом в 0: в этом случае для ,
Let Since , there is an family of local systems on X corresponding to the maps :
Horizontal sections of vector bundles with a flat connection. If is a vector bundle with flat connection , then there is a local system given by For instance, take and , the trivial bundle. Sections of E are n tuples of functions on X, so defines a flat connection on E, as does for any matrix of one forms on X. The horizontal sections are then</p> i. e., the solutions to the linear differential equation If extends to a one form on the above will also define a local system on , so will be trivial since So to give an interesting example, choose one with a pole at 0: in which case for ,
An n sheeted covering map is a local system with fibers given by the set Similarly, a fibre bundle with discrete fibre is a local system, because each path lifts uniquely to a given lift of its basepoint. (The definition adjusts to include set valued local systems in the obvious way). A local system of k vector spaces on X is equivalent to a k linear representation of
If X is a variety, local systems are the same thing as D modules which are additionally coherent O X modules (see O modules). If the connection is not flat (i. e. its curvature is nonzero), then parallel transport of a fibre F x over x around a contractible loop based at x 0 may give a nontrivial automorphism of F x, so locally constant sheaves can not necessarily be defined for non flat connections. The Gauss–Manin connection is a prominent example of a connection whose horizontal sections are studied in relation to variation of Hodge structures.
n-листное накрытие является локальной системой с волокнами, заданными множеством. Аналогично, расслоение с дискретным волокном является локальной системой, поскольку каждый путь однозначно продолжается до данного подъема его базовой точки. (Определение корректируется, чтобы включить локальные системы со значениями в множествах очевидным образом). Локальная система из k векторных пространств на X эквивалентна k-линейному представлению . Если X является многообразием, то локальные системы – это то же самое, что D-модули, которые дополнительно являются когерентными O-модулями (см. O-модули). Если связный оператор не является плоским (то есть его кривизна ненулевая), то параллельный перенос волокна Fx вдоль x вокруг сжимаемой петли, начинающейся в x0, может дать нетривиальный автоморфизм Fx, поэтому локально постоянные снопы не всегда могут быть определены для неплоских связных операторов. Связность Гаусса — Маннина является ярким примером связного оператора, горизонтальные сечения которого изучаются в связи с вариацией структур Ходжа.
Let Since , there is an family of local systems on X corresponding to the maps :
Horizontal sections of vector bundles with a flat connection. If is a vector bundle with flat connection , then there is a local system given by For instance, take and , the trivial bundle. Sections of E are n tuples of functions on X, so defines a flat connection on E, as does for any matrix of one forms on X. The horizontal sections are then</p> i. e., the solutions to the linear differential equation If extends to a one form on the above will also define a local system on , so will be trivial since So to give an interesting example, choose one with a pole at 0: in which case for ,
An n sheeted covering map is a local system with fibers given by the set Similarly, a fibre bundle with discrete fibre is a local system, because each path lifts uniquely to a given lift of its basepoint. (The definition adjusts to include set valued local systems in the obvious way). A local system of k vector spaces on X is equivalent to a k linear representation of
If X is a variety, local systems are the same thing as D modules which are additionally coherent O X modules (see O modules). If the connection is not flat (i. e. its curvature is nonzero), then parallel transport of a fibre F x over x around a contractible loop based at x 0 may give a nontrivial automorphism of F x, so locally constant sheaves can not necessarily be defined for non flat connections. The Gauss–Manin connection is a prominent example of a connection whose horizontal sections are studied in relation to variation of Hodge structures.
Кохомология
Существует несколько способов определения кохомологии локальной системы, называемой кохомологией с локальными коэффициентами, которые становятся эквивалентными при умеренных предположениях относительно X. Для заданного локально постоянного пучка абелевых групп на X, у нас есть группы когомологий пучка с коэффициентами в. Для заданного локально постоянного пучка абелевых групп на X, пусть – это группа всех функций f, отображающих каждый сингулярный n-симплекс в глобальный сечение обратного пучка изображения. Эти группы можно превратить в комплекс коцепей с дифференциалами, построенными аналогично обычной сингулярной когомологии. Определим как когомологию этого комплекса. Группа сингулярных n-цепей на универсальной накрывающей X имеет действие преобразований палубы. Явно, преобразование палубы отображает сингулярный n-симплекс в. Тогда, для заданной абелевой группы L, снабженной действием , можно построить комплекс коцепей из групп эквивариантных гомоморфизмов, как описано выше. Определим как когомологию этого комплекса. Если X паракомпактно и локально стягиваемо, то если – это локальная система, соответствующая L, то существует идентификация, совместимая с дифференциалами, такая что .
Given a locally constant sheaf of abelian groups on X, let be the group of all functions f which map each singular n simplex to a global section of the inverse image sheaf These groups can be made into a cochain complex with differentials constructed as in usual singular cohomology. Define to be the cohomology of this complex. The group of singular n chains on the universal cover of X has an action of by deck transformations. Explicitly, a deck transformation takes a singular n simplex to Then, given an abelian group L equipped with an action of , one can form a cochain complex from the groups of equivariant homomorphisms as above. Define to be the cohomology of this complex. If X is paracompact and locally contractible, then If is the local system corresponding to L, then there is an identification compatible with the differentials, so .
Приложения
Когомология с локальными коэффициентами в модуле, соответствующем ориентирующему покрытию, может быть использована для формулировки дуальности Пуанкаре для неориентируемых многообразий: см. Скрученная дуальность Пуанкаре.