Әлсіз шешімдер: Математикалық анықтама және қолданылуы
Weak solution
Әдеттегі немесе дербес дифференциалдық теңдеулердегі әлсіз шешімдер, туындылары жоқ функциялар, бірақ теңдеуді қанағаттандырады. Математикалық түсініктер.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикалық шешім
Mathematical solution
Математикада, әлсіз шешім (сонымен қатар жалпыланған шешім деп аталады) – қарапайым немесе ішінара дифференциалдық теңдеу үшін, барлық туындылары болмауы мүмкін, бірақ бәрібір белгілі бір дәл анықталған мағынада теңдеуді қанағаттандырады деп есептелетін функция. Теңдеулердің әртүрлі кластарына сәйкес әлсіз шешімнің көптеген әртүрлі анықтамалары бар. Ең маңыздыларының бірі – үлестіру ұғымына негізделген. Үлестіру тілін қолданбай, дифференциалдық теңдеуден бастап, теңдеу шешімінің туындылары пайда болмайтындай етіп қайта жазады (жаңа форманы әлсіз формулировка деп атайды, ал оның шешімдерін – әлсіз шешімдер деп атайды). Күтпегендей, дифференциалдық теңдеуде туындыланбайтын шешімдер болуы мүмкін; ал әлсіз формулировка мұндай шешімдерді табуға мүмкіндік береді. Әлсіз шешімдер маңызды, себебі нақты әлемдегі құбылыстарды модельдеуде кездесетін көптеген дифференциалдық теңдеулер жеткілікті тегіс шешімдерге ие болмайды, ал мұндай теңдеулерді шешудің жалғыз жолы – әлсіз формулировканы қолдану. Тіпті теңдеуде туындыланған шешімдер болған жағдайларда да, әлсіз шешімдердің бар екенін алдымен дәлелдеу және кейін ғана осы шешімдердің шын мәнінде жеткілікті тегіс екенін көрсету ыңғайлы.
In mathematics, a weak solution (also called a generalized solution) to an ordinary or partial differential equation is a function for which the derivatives may not all exist but which is nonetheless deemed to satisfy the equation in some precisely defined sense. There are many different definitions of weak solution, appropriate for different classes of equations. One of the most important is based on the notion of distributions. Avoiding the language of distributions, one starts with a differential equation and rewrites it in such a way that no derivatives of the solution of the equation show up (the new form is called the weak formulation, and the solutions to it are called weak solutions). Somewhat surprisingly, a differential equation may have solutions which are not differentiable; and the weak formulation allows one to find such solutions. Weak solutions are important because many differential equations encountered in modelling real world phenomena do not admit of sufficiently smooth solutions, and the only way of solving such equations is using the weak formulation. Even in situations where an equation does have differentiable solutions, it is often convenient to first prove the existence of weak solutions and only later show that those solutions are in fact smooth enough.
Басқа да әлсіз ерітінділер
Таралымдарға негізделген әлсіз шешім ұғымы кейде жеткіліксіз болып келеді. Гиперболалық жүйелерде үлестірілімдерге негізделген әлсіз шешім бірегейлікті қамтамасыз етпейді, сондықтан оны энтропиялық шарттармен немесе басқа да таңдау критерийлерімен толықтыру қажет. Гамильтон-Джакоби теңдеуі сияқты толық бейсызық ПДЭ-де, әлсіз шешімнің тұтқырлық шешімі деп аталатын өте ерекше анықтамасы бар.
The notion of weak solution based on distributions is sometimes inadequate. In the case of hyperbolic systems, the notion of weak solution based on distributions does not guarantee uniqueness, and it is necessary to supplement it with entropy conditions or some other selection criterion. In fully nonlinear PDE such as the Hamilton–Jacobi equation, there is a very different definition of weak solution called viscosity solution.