Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Математическое решение
Mathematical solution
В математике слабое решение (также называемое обобщённым решением) обыкновенного или частного дифференциального уравнения — это функция, для которой не все производные могут существовать, но которая, тем не менее, считается удовлетворяющей уравнению в некотором точно определённом смысле. Существует множество различных определений слабого решения, подходящих для разных классов уравнений. Одно из наиболее важных основано на понятии обобщённых функций. Избегая использования аппарата обобщённых функций, начинают с дифференциального уравнения и переписывают его таким образом, чтобы в нём не содержались производные искомой функции (полученная форма называется слабой формулировкой, а решения этой формулировки — слабыми решениями). Довольно удивительно, но дифференциальное уравнение может иметь решения, которые не дифференцируемы, и слабая формулировка позволяет находить такие решения. Слабые решения важны, поскольку многие дифференциальные уравнения, возникающие при моделировании реальных явлений, не имеют достаточно гладких решений, и единственный способ их решения — использование слабой формулировки. Даже в случаях, когда уравнение имеет дифференцируемые решения, часто бывает удобно сначала доказать существование слабого решения, а затем показать, что это решение достаточно гладкое.
In mathematics, a weak solution (also called a generalized solution) to an ordinary or partial differential equation is a function for which the derivatives may not all exist but which is nonetheless deemed to satisfy the equation in some precisely defined sense. There are many different definitions of weak solution, appropriate for different classes of equations. One of the most important is based on the notion of distributions. Avoiding the language of distributions, one starts with a differential equation and rewrites it in such a way that no derivatives of the solution of the equation show up (the new form is called the weak formulation, and the solutions to it are called weak solutions). Somewhat surprisingly, a differential equation may have solutions which are not differentiable; and the weak formulation allows one to find such solutions. Weak solutions are important because many differential equations encountered in modelling real world phenomena do not admit of sufficiently smooth solutions, and the only way of solving such equations is using the weak formulation. Even in situations where an equation does have differentiable solutions, it is often convenient to first prove the existence of weak solutions and only later show that those solutions are in fact smooth enough.
Другие виды слабых растворов
Понятие слабого решения, основанное на распределениях, иногда оказывается недостаточным. В случае гиперболических систем понятие слабого решения, основанное на распределениях, не гарантирует единственности, и необходимо дополнить его условиями энтропии или каким-либо другим критерием выбора. В полностью нелинейных уравнениях в частных производных, таких как уравнение Гамильтона — Джейкоби, существует совершенно иное определение слабого решения, называемое вязкостным решением.
The notion of weak solution based on distributions is sometimes inadequate. In the case of hyperbolic systems, the notion of weak solution based on distributions does not guarantee uniqueness, and it is necessary to supplement it with entropy conditions or some other selection criterion. In fully nonlinear PDE such as the Hamilton–Jacobi equation, there is a very different definition of weak solution called viscosity solution.