Кіріспе
Кванттық механиканың математикалық тұжырымдамасындағы теорема. 1931 жылы Юджин Вигнер дәлелдеген Вигнер теоремасы – кванттық механиканың математикалық тұжырымдамасының маңызды негізі. Теорема айналу, жылжу және CPT түрлендірулері сияқты физикалық симметриялардың Хилберт күй кеңістігінде қалай бейнеленетінін көрсетеді. Кванттық теориядағы физикалық күйлер Хилберт кеңістігіндегі фазалық факторға дейін нормаланған векторлармен, яғни вектордың жабатын кешенді сызығы немесе сәулесімен бейнеленеді. Бұдан бөлек, Борн ережесіне сәйкес, нормаланған вектордың нормаланған өзіндік вектормен ішкі көбейтіндісінің абсолюттік шамасы, немесе эквивалентті түрде векторлардың жабатын сызықтар арасындағы бұрыштың косинусының квадраты, ауысу ықтималдығына сәйкес келеді. Математикада проективті Хилберт кеңістігі деп аталатын сәуле кеңістігі – Хилберт кеңістігіндегі фазалық факторға дейін теңдес болатын барлық нормаланған векторлардың кеңістігі. Вигнер теоремасы бойынша, ішкі көбейтінділердің абсолюттік шамасын сақтайтын сәуле кеңістігінің кез келген түрленуі Хилберт кеңістігінің унитарлық немесе антиунитарлық түрленуімен бейнеленеді, бұл түрлену фазалық факторға дейін бірегей болады. Осының салдарынан, сәуле кеңістігіндегі симметрия тобының бейнеленуі проективті бейнеленуге, ал кейде тікелей Хилберт кеңістігіндегі бейнеленуге көтерілуі мүмкін.
Wigner's theorem, proved by Eugene Wigner in 1931, is a cornerstone of the mathematical formulation of quantum mechanics. The theorem specifies how physical symmetries such as rotations, translations, and CPT transformations are represented on the Hilbert space of states. The physical states in a quantum theory are represented by unit vectors in Hilbert space up to a phase factor, i. e. by the complex line or ray the vector spans. In addition, by the Born rule the absolute value of the unit vector's inner product with a unit eigenvector, or equivalently the cosine squared of the angle between the lines the vectors span, corresponds to the transition probability. Ray space, in mathematics known as projective Hilbert space, is the space of all unit vectors in Hilbert space up to the equivalence relation of differing by a phase factor. By Wigner's theorem, any transformation of ray space that preserves the absolute value of the inner products can be represented by a unitary or antiunitary transformation of Hilbert space, which is unique up to a phase factor. As a consequence, the representation of a symmetry group on ray space can be lifted to a projective representation or sometimes even an ordinary representation on Hilbert space.
Фазалық еркіндіктің пайдалылығы
Келесі техникалық теоремалар мен тағы да көптерін оңай түсінілетін дәлелдемелермен табуға болады. Фазаларды таңдау еркіндігі фазалық факторларды жеңілдету үшін қолданылуы мүмкін. Кейбір топтар үшін фазаны толығымен жоюға болады. Лоренц тобы және оның ішкі тобы SO(3) айналу тобы үшін, проективті бейнелеулерде фазалар 1=ω(g, h) = ± 1 болатындай етіп таңдалуы мүмкін. Олардың тиісінше SL(2,C) және Spin(3) жалпы жапқыш топтары үшін теоремаға сәйкес 1=ω(g, h) = 1 болуы мүмкін, яғни олар нақты бейнелеулер болып табылады. Фазаларды қайта анықтауды зерттеу топтық кохомологияны қамтиды. Жоғарыдағы ω-ның «шапақшалы» және «шапақшасыз» нұсқаларымен байланысты екі функция кохомолог деп аталады. Олар бірдей екінші кохомология класына жатады, яғни H^(2)(G) – G тобының екінші кохомология тобындағы бірдей элементпен бейнеленеді. Егер H^(2)(G) элементінде 1=ω=0 тривиалды функциясы болса, онда ол тривиалды деп есептеледі. Проективті бейнелеу g → T(g) әлсіз үздіксіз болса, екі маңызды теореманы айтуға болады. (Әлсіз) үздіксіздіктің тікелей салдары – сәйкестік компоненті унитарлық операторлармен бейнеленеді. Математикалық теорема | аты = Теорема (Баргман) | математикалық тұжырым = e-нің жеткілікті кішкентай аймағында, жартылай қарапайым Ли топтары (мысалы, SO(n), SO(3,1) және аффиндік сызықтық топтар, әсіресе Пуанкаре тобы) үшін ω(g1, g2) ≡ 1 таңдау мүмкін. Нақтырақ айтқанда, бұл жағдай G тобының Lie алгебрасы 'g'-ның екінші кохомология тобы тривиалды болғанда ғана орын алады. Ал, Саймон аралас күйлер кеңістігіне (из класындағы оң операторлар) қолданылады және симметрияның сәл өзгеше ұғымдарын пайдаланады.
The freedom of choice of phases can be used to simplify the phase factors. For some groups the phase can be eliminated altogether. In the case of the Lorentz group and its subgroup the rotation group SO(3), phases can, for projective representations, be chosen such that 1=ω(g, h) = ± 1. For their respective universal covering groups, SL(2,C) and Spin(3), it is according to the theorem possible to have 1=ω(g, h) = 1, i. e. they are proper representations. The study of redefinition of phases involves group cohomology. Two functions related as the hatted and non hatted versions of ω above are said to be cohomologous. They belong to the same second cohomology class, i. e. they are represented by the same element in H^(2)(G), the second cohomology group of G. If an element of H^(2)(G) contains the trivial function 1=ω = 0, then it is said to be trivial. Assuming the projective representation g → T(g) is weakly continuous, two relevant theorems can be stated. An immediate consequence of (weak) continuity is that the identity component is represented by unitary operators. math theorem | name = Theorem (Bargmann) | math statement = In a sufficiently small neighborhood of e, the choice ω(g1, g2) ≡ 1 is possible for semisimple Lie groups (such as SO(n), SO(3,1) and affine linear groups, (in particular the Poincaré group). More precisely, this is exactly the case when the second cohomology group of the Lie algebra 'g' of G is trivial. and Simon apply to the space of mixed states (trace class positive operators) and use slight different notions of symmetry.