Введение

Теорема в математической формулировке квантовой механики

Теорема Вигнера, доказанная Юджином Вигнером в 1931 году, является краеугольным камнем математической формулировки квантовой механики. Теорема определяет, как физические симметрии, такие как вращения, сдвиги и преобразования CPT, представляются на гильбертовом пространстве состояний. Физические состояния в квантовой теории представляются единичными векторами в гильбертовом пространстве с точностью до фазового множителя, то есть комплексной прямой или лучом, который вектор определяет. Кроме того, согласно правилу Борна, абсолютное значение скалярного произведения единичного вектора с единичным собственным вектором, или, эквивалентно, квадрат косинуса угла между этими лучами, соответствует вероятности перехода. Пространство лучей, в математике известное как проективное пространство Гильберта, представляет собой пространство всех единичных векторов в гильбертовом пространстве с точностью до отношения эквивалентности, заключающегося в разнице фазовых множителей. По теореме Вигнера, любое преобразование пространства лучей, сохраняющее абсолютное значение скалярных произведений, может быть представлено унитарным или антиунитарным преобразованием гильбертова пространства, которое однозначно определяется с точностью до фазового множителя. Следовательно, представление группы симметрий на пространстве лучей может быть расширено до проективного представления или, в некоторых случаях, до обычного представления на гильбертовом пространстве.

Полезность свободы фазы

Следующие довольно технические теоремы и многие другие можно найти с доступными доказательствами в
Свобода выбора фаз может быть использована для упрощения фазовых множителей. Для некоторых групп фазу можно исключить полностью. В случае группы Лоренца и её подгруппы – группы вращений SO(3), фазы можно выбрать для проективных представлений таким образом, что 1 = ω(g, h) = ±1. Для их соответствующих универсальных накрывающих групп, SL(2,C) и Spin(3), согласно теореме, возможно иметь 1 = ω(g, h) = 1, то есть они являются собственными представлениями. Изучение переопределения фаз включает групповую кохомологию. Две функции, связанные как версии ω с и без "крышки", называются кохомологичными. Они принадлежат к одному и тому же второму классу кохомологий, то есть они представлены одним и тем же элементом в H^(2)(G) – второй группе кохомологий G. Если элемент H^(2)(G) содержит тривиальную функцию 1 = ω = 0, то он считается тривиальным. Предполагая, что проективное представление g → T(g) слабо непрерывно, можно сформулировать две важные теоремы. Непосредственным следствием (слабой) непрерывности является то, что компонент единицы представляется унитарными операторами. Математическая теорема | название = Теорема (Баргман) | математическое утверждение = В достаточно малой окрестности точки e выбор ω(g1, g2) ≡ 1 возможен для полупростых групп Ли (таких как SO(n), SO(3,1) и аффинных линейных групп, в частности группы Пуанкаре). Более точно, это имеет место тогда и только тогда, когда вторая группа кохомологий алгебры Ли 'g' группы G тривиальна. Саймон применяет свои результаты к пространству смешанных состояний (положительные операторы следового класса) и использует несколько иные понятия симметрии.