Фано факторы: Статистикалық шашырау және нейрондық импульстардың өзгеруі
Fano factor
Фано факторы – статистикада саноқ процесінің дисперсиясын өлшейтін шама. Уго Фаноның есімімен аталған, сигнал/шу қатынасын көрсетеді. Пуассон процесі үшін тең 1.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Статистикада Фано факторы, вариация коэффициенті сияқты, санау процесінің дисперсиясын өлшеуге арналған шама. Ол бастапқыда ион детекторларындағы Фано шуын өлшеу үшін қолданылған. Ол итальян-американдық физик Уго Фаноның құрметіне аталған. Белгілі бір уақыттан кейінгі Фано факторы келесідей анықталады:
In statistics, the Fano factor, like the coefficient of variation, is a measure of the dispersion of a counting process. It was originally used to measure the Fano noise in ion detectors. It is named after Ugo Fano, an Italian American physicist. The Fano factor after a time is defined as
мұндағы – стандартты ауытқу, ал – белгілі бір уақыттан кейін санау процесінің оқиғаларының орташа саны. Фано факторы шу-сигнал қатынасының бір түрі ретінде қарастырылуы мүмкін; ол бірнеше кездейсоқ оқиғадан кейін күту уақыты кездейсоқ айнымалысын қаншалықты сенімді бағалауға болатынының өлшемі. Пуассон санау процесі үшін санаудағы дисперсия орташа санауға тең, сондықтан .
where is the standard deviation and is the mean number of events of a counting process after some time The Fano factor can be viewed as a kind of noise to signal ratio; it is a measure of the reliability with which the waiting time random variable can be estimated after several random events. For a Poisson counting process, the variance in the count equals the mean count, so .
Интерпретация
Санның таралуы ретінде қарастырылғанда, Фано коэффициенті шамамен шыңның еніне сәйкес келеді. Сондықтан Фано коэффициенті көбінесе жатсымаған процестің болжамсыздығы ретінде түсіндіріледі.
When considered as the dispersion of the number, the Fano factor roughly corresponds to the width of the peak of As such, the Fano factor is often interpreted as the unpredictability of the underlying process.
Мысал: Тұрақты кездейсоқ айнымалы
Ұсталу уақыттары тұрақты болғанда, сонда егер онда жаңарту процесін өте болжамды деп түсіндіреміз.
When the holding times are constant, then As such, if then we interpret the renewal process as being very predictable.
Мысал: Poisson санау процесі
Кез келген уақыт аралығында оқиғаның болу ықтималдығы барлық уақытқа бірдей болса, онда тоқтау уақыттары экспоненциалды таралымға ие болуы керек, нәтижесінде Пуассон санау процесі пайда болады, он үшін .
When the likelihood of an event occurring in any time interval is equal for all time, then the holding times must be exponentially distributed, giving a Poisson counting process, for which .
Нейробиологиялық зерттеулер
Фано факторы нейробиологияда нейрондық импульстардың өзгергіштігін сипаттау үшін қолданылады. Бұл контексте, оқиғалар – нейрондық импульстар, ал ұстау уақыты – Inter Spike Intervals (ISI). Көбінесе Фано факторының лимит анықтамасы қолданылады, ол үшін:
The Fano factor is used in neuroscience to describe variability in neural spiking. In this context, the events are the neural spiking events and the holding times are the Inter Spike Intervals (ISI). Often, the limit definition of the Fano factor is used, for which,
мұндағы – ISI-нің вариациялық коэффициенті. Кейбір нейрондардың ISI үлестірімдері әртүрлі екені анықталды, яғни санау процесі енді жаңару процесі емес. Оның орнына, Марков жаңару процесі қолданылады. Егерде тең ауысу ықтималдығына ие екі Марков күйі болса, онда жоғарыдағы лимит қайтадан жақындайды:
where is the coefficient of variation of ISI. Some neurons are found to have varying ISI distributions, meaning that the counting process is no longer a renewal process. Rather, a Markov renewal process is used. In the case that we have only two Markov states with equal transition probabilities , we have that the limit above again converges,
мұндағы – сәйкес күйдің ISI-нің орташа мәнін көрсетеді. Көптеген зерттеулер тұрақты Фано факторын қарастырса да, соңғы жұмыстар тұрақты емес Фано факторына ие нейрондарды зерттейді. Бұл жағдайда, тұрақты емес Фано факторларына негізгі Пуассон процесінің жылдамдығына шу мен сызықтық емес элементтерді қосу арқылы қол жеткізуге болады.
where represents the mean for the ISI of the corresponding state. While most work assumes a constant Fano factor, recent work has considered neurons with non constant Fano factors. In this case, it is found that non constant Fano factors can be achieved by introducing both noise and non linearity to the rate of the underlying Poisson process.