Фактор Фано: мера дисперсии и непредсказуемости счетных процессов.
Fano factor
Фактор Фано в статистике: мера дисперсии счетного процесса, названная в честь Уго Фано. Оценивает соотношение шума к сигналу, надежность оценки времени событий.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В статистике фактор Фано, как и коэффициент вариации, является мерой разброса счётного процесса. Изначально он использовался для измерения шума Фано в ионных детекторах. Он назван в честь Уго Фано, итало-американского физика. Фактор Фано после времени t определяется как
In statistics, the Fano factor, like the coefficient of variation, is a measure of the dispersion of a counting process. It was originally used to measure the Fano noise in ion detectors. It is named after Ugo Fano, an Italian American physicist. The Fano factor after a time is defined as
где σ – стандартное отклонение, а μ – среднее число событий счётного процесса за время t. Фактор Фано можно рассматривать как разновидность отношения сигнал/шум; это мера надёжности, с которой можно оценить случайную величину времени ожидания после нескольких случайных событий. Для пуассоновского счётного процесса дисперсия в количестве событий равна среднему количеству событий, то есть σ² = μ.
where is the standard deviation and is the mean number of events of a counting process after some time The Fano factor can be viewed as a kind of noise to signal ratio; it is a measure of the reliability with which the waiting time random variable can be estimated after several random events. For a Poisson counting process, the variance in the count equals the mean count, so .
Интерпретация
При рассмотрении как меры разброса числа, фактор Фано приблизительно соответствует ширине пика. Таким образом, фактор Фано часто интерпретируется как степень непредсказуемости лежащего в основе процесса.
When considered as the dispersion of the number, the Fano factor roughly corresponds to the width of the peak of As such, the Fano factor is often interpreted as the unpredictability of the underlying process.
Пример: постоянная случайная переменная
Когда время удержания постоянно, то, следовательно, мы рассматриваем процесс обновления как весьма предсказуемый.
When the holding times are constant, then As such, if then we interpret the renewal process as being very predictable.
Пример: процесс подсчета Poisson
Когда вероятность наступления события в любом временном интервале одинакова, время удержания должно распределяться экспоненциально, что приводит к пуассоновскому процессу счета, для которого .
When the likelihood of an event occurring in any time interval is equal for all time, then the holding times must be exponentially distributed, giving a Poisson counting process, for which .
Использование в нейробиологии
Фактор Фано используется в нейробиологии для описания изменчивости нейронных импульсов. В этом контексте событиями являются события нейронного спайка, а время удержания – межспайковые интервалы (ISI). Часто используется предельное определение фактора Фано, для которого,
The Fano factor is used in neuroscience to describe variability in neural spiking. In this context, the events are the neural spiking events and the holding times are the Inter Spike Intervals (ISI). Often, the limit definition of the Fano factor is used, for which,
где – коэффициент вариации ISI. Некоторые нейроны демонстрируют изменяющиеся распределения ISI, что означает, что процесс счета больше не является процессом обновления. Вместо этого используется процесс обновления Маркова. В случае, когда у нас есть только два состояния Маркова с равными вероятностями перехода , предел, указанный выше, снова сходится,
where is the coefficient of variation of ISI. Some neurons are found to have varying ISI distributions, meaning that the counting process is no longer a renewal process. Rather, a Markov renewal process is used. In the case that we have only two Markov states with equal transition probabilities , we have that the limit above again converges,
где представляет собой среднее значение ISI для соответствующего состояния. В то время как большинство исследований исходят из предположения о постоянном факторе Фано, недавние работы рассматривают нейроны с непостоянными факторами Фано. В этом случае было обнаружено, что непостоянные факторы Фано могут быть достигнуты путем введения как шума, так и нелинейности в интенсивность базового пуассоновского процесса.
where represents the mean for the ISI of the corresponding state. While most work assumes a constant Fano factor, recent work has considered neurons with non constant Fano factors. In this case, it is found that non constant Fano factors can be achieved by introducing both noise and non linearity to the rate of the underlying Poisson process.