Кіріспе
Математикада, әсіресе симплектикалық геометрияда, импульс картасы (немесе, бұрыс этимология бойынша, момент картасы) – симплектикалық көптіктегі Лай тобының гамильтондық әрекетімен байланысты құрал, ол осы әрекет үшін сақталатын шамаларды құруға қолданылады. Импульс картасы сызықтық және бұрыштық импульс туралы классикалық ұғымдарды кеңейтеді. Ол симплектикалық көптүрліліктерді құрудың әртүрлі жолдарында, соның ішінде симплектикалық (Марсден–Вайнштейн) бөліктерінде (төменде талқыланады), сондай-ақ симплектикалық кесінділер мен қосындыларда маңызды элемент болып табылады.
Ресми анықтама
Симплектикалық формасы бар көптік болсын. Лай тобы симплектоморфизмдер арқылы әрекет етеді деп есептейік (яғни, Лай тобының әрбір элементінің әрекеті сақтайды). болсын -нің Лай алгебрасы, - оның дуалы және екеуінің арасындағы жұптасу. Кез келген элемент индукциялайтын векторлық өріс -дегінің инфинитезимальды әрекетін сипаттайды. Нақтырақ айтқанда, -дегі нүктеде вектор
the pairing between the two. Any in induces a vector field on describing the infinitesimal action of To be precise, at a point in the vector is
where is the exponential map and denotes the action on Let denote the contraction of this vector field with Because acts by symplectomorphisms, it follows that is closed (for all in ). Suppose that is not just closed but also exact, so that for some function If this holds, then one may choose the to make the map linear. A momentum map for the action on is a map such that
for all in Here is the function from to defined by The momentum map is uniquely defined up to an additive constant of integration (on each connected component). An action on a symplectic manifold is called Hamiltonian if it is symplectic and if there exists a momentum map. A momentum map is often also required to be equivariant, where acts on via the coadjoint action, and sometimes this requirement is included in the definition of a Hamiltonian group action. If the group is compact or semisimple, then the constant of integration can always be chosen to make the momentum map coadjoint equivariant. However, in general the coadjoint action must be modified to make the map equivariant (this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1 cocycle on the group with values in , as first described by Souriau (1970).
, мұнда - экспоненциалдық карта, ал - Лай тобының -ге қатысты әрекетін білдіреді. Осы векторлық өрістің жиырылуын арқылы белгілейік. Лай тобы симплектоморфизмдер арқылы әрекет ететіндіктен, жабық екені шығады (барлық үшін). Егер жабық ғана емес, сонымен қатар дәл болса, яғни кейбір функция үшін, онда картаны сызықтық ету үшін таңдауға болады. Бұл жағдайда, Лай тобының -ге қатысты әрекеті үшін импульс картасы болып табылады. Импульс картасы интеграцияның қосымша тұрақтысына дейін (әрбір байланысты компонентте) бірегей түрде анықталады. Симплектикалық көптіктегі әрекет гамильтондық деп аталады, егер ол симплектикалық болса және импульс картасы болса. Көбінесе импульс картасы эквивариантты болуы керек, мұнда Лай тобы коаджойнт әрекеті арқылы әрекет етеді, және кейде бұл талап гамильтондық топ әрекетінің анықтамасына кіреді. Егер Лай тобы тығыз немесе жартылай қарапайым болса, онда интеграцияның тұрақтысын импульс картасын коаджойнт эквивариантты ету үшін әрқашан таңдауға болады. Дегенмен, жалпы жағдайда коаджойнт әрекетін картаны эквивариантты ету үшін өзгерту қажет (мысалы, Евклид тобы үшін). Бұл өзгерту Сурьяудың (1970 ж.) бірінші рет сипаттағандай, топтағы мәндері бар 1-коцикл арқылы жүзеге асырылады.
the pairing between the two. Any in induces a vector field on describing the infinitesimal action of To be precise, at a point in the vector is
where is the exponential map and denotes the action on Let denote the contraction of this vector field with Because acts by symplectomorphisms, it follows that is closed (for all in ). Suppose that is not just closed but also exact, so that for some function If this holds, then one may choose the to make the map linear. A momentum map for the action on is a map such that
for all in Here is the function from to defined by The momentum map is uniquely defined up to an additive constant of integration (on each connected component). An action on a symplectic manifold is called Hamiltonian if it is symplectic and if there exists a momentum map. A momentum map is often also required to be equivariant, where acts on via the coadjoint action, and sometimes this requirement is included in the definition of a Hamiltonian group action. If the group is compact or semisimple, then the constant of integration can always be chosen to make the momentum map coadjoint equivariant. However, in general the coadjoint action must be modified to make the map equivariant (this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1 cocycle on the group with values in , as first described by Souriau (1970).
Импульстік карталардың мысалдары
Дөңгелектің Гамильтондық әрекеті жағдайында, Ли алгебрасының дуалы табиғи түрде сәйкес келеді, ал импульс картасы – дөңгелек әрекетін тудыратын Гамильтондық функция болып табылады. Тағы бір классикалық жағдай, егер е евклидтік топ болса, ол айналымдар мен аудармалар арқылы жасалады. Яғни, бұл алты өлшемді топ, және жартылай тікелей көбейтіндісі. Импульс картасының алты компоненті – үш бұрыштық момент және үш сызықтық момент. тегіс көптік болсын, ал – оның котангенттік шоғыры, проекциялық картасымен . -ны -дағы тавтологиялық 1-форма деп белгілейік. Егер -ке әрекет етсе, онда -ке индуцирленген әрекет, үшін Гамильтондық болады, оның импульс картасы барлық үшін. Мұнда -ның векторлық өрісінің, -нің инфинитезималды әрекетінің, 1-формамен жиырылуын білдіреді.
Төменде келтірілген фактілер импульс карталарының қосымша мысалдары жасау үшін қолданылуы мүмкін.
The facts mentioned below may be used to generate more examples of momentum maps.
Импульс карталары туралы кейбір деректер
Болсын – Ли топтары, сәйкесінше – олардың Ли алгебралары. Болсын – коадъюнтты орбита. Онда –дегі бірден-бір симплектикалық құрылым бар, мұнда кіріктіру картасы – импульстік карта болып табылады. Болсын – симплектикалық көптікке әрекет ететін және осы әрекет үшін импульстік карта болып табылатын , ал – Ли тобының гомоморфизмі, ол –дегі әрекетті тудырады. Онда –нің –ге қатысты әрекеті де Гамильтондық болады, оның импульстік картасы арқылы беріледі, мұнда – –нің дуалды картасы ( – бірлік элементін білдіреді). Ерекше қызығушылық тудыратын жағдай – егер – Ли тобының ішкі тобы болса және – кіріктіру картасы болса. Болсын – Гамильтондық көптік және – Гамильтондық көптік. Онда –нің –ге қатысты табиғи әрекеті Гамильтондық болады, импульстік картасы – екі импульстік картаның тікелей қосындысы, мұнда – проекция картасын білдіреді. Болсын – Гамильтондық көптік, ал – –нің инвариантты кішікөптігі, сонда симплектикалық форманың –ға шектелуі дегенеративті емес. Бұл –ке табиғи симплектикалық құрылым береді. Онда –нің –ге қатысты әрекеті де Гамильтондық болады, импульстік картасы – кіріктіру картасының және –нің импульстік картасының композициясы.
Симплекстік үлестер
Егер Лай тобының симплектикалық көптікке әрекеті жоғарыда анықталғандай Гамильтондық болса, эквивариантты импульс картасымен, Гамильтондық шартынан, ол -қа қатысты инвариантты екені шығады. Енді G еркін және дұрыс әрекет етеді деп есептейік. Одан келеді, -ның реттелі мәні, сондықтан және оның бөліндісі де тегіс көптіктер болады. Бөлінді симплектикалық форманы -дан мұралайды; яғни, бөліндіде бірегей симплектикалық форма бар, оның кері суреті -ның шектеуіне тең. Осылайша, бөлінді симплектикалық көптік болып табылады, ол Марсден–Вайнштейн бөліндісі, кейде симплектикалық бөлінді немесе -ның G-мен симплектикалық азайтуы деп аталады және арнайы белгіленеді. Оның өлшемі -ның өлшемінен екі есе кем өлшемге тең. Көбірек айтқанда, егер G еркін әрекет етпесе (бірақ әлі де дұрыс), онда көрсетілгендей, -ның қабатталған симплектикалық кеңістік екені белгілі, яғни қабаттарында үйлесімді симплектикалық құрылымдары бар қабатталған кеңістік.
Assume now that acts freely and properly on It follows that is a regular value of , so and its quotient are both smooth manifolds. The quotient inherits a symplectic form from ; that is, there is a unique symplectic form on the quotient whose pullback to equals the restriction of to Thus, the quotient is a symplectic manifold, called the Marsden–Weinstein quotient, after , symplectic quotient, or symplectic reduction of by and is denoted Its dimension equals the dimension of minus twice the dimension of
More generally, if G does not act freely (but still properly), then showed that is a stratified symplectic space, i. e. a stratified space with compatible symplectic structures on the strata.