Введение
В математике, в частности в симплектической геометрии, карта момента (или, ошибочно, карта импульса) — это инструмент, связанный с гамильтоновым действием группы Ли на симплектическом многообразии, используемый для построения интегралов движения для этого действия. Карта момента обобщает классические понятия линейного и углового момента. Она является важным компонентом в различных построениях симплектических многообразий, включая симплектические (Марсдена — Вайнштейна) частные отношения, рассматриваемые ниже, и симплектические вырезания и объединения.
Формальное определение
Пусть будет многообразием с симплектической формой. Предположим, что группа Ли действует на посредством симплектоморфизмов (то есть действие каждого элемента из сохраняет ). Пусть — алгебра Ли группы , её дуальное пространство, и — спаривание между ними. Любой элемент из порождает векторное поле на , описывающее бесконечно малую трансформацию действия . Точнее, в точке вектор равен
the pairing between the two. Any in induces a vector field on describing the infinitesimal action of To be precise, at a point in the vector is
where is the exponential map and denotes the action on Let denote the contraction of this vector field with Because acts by symplectomorphisms, it follows that is closed (for all in ). Suppose that is not just closed but also exact, so that for some function If this holds, then one may choose the to make the map linear. A momentum map for the action on is a map such that
for all in Here is the function from to defined by The momentum map is uniquely defined up to an additive constant of integration (on each connected component). An action on a symplectic manifold is called Hamiltonian if it is symplectic and if there exists a momentum map. A momentum map is often also required to be equivariant, where acts on via the coadjoint action, and sometimes this requirement is included in the definition of a Hamiltonian group action. If the group is compact or semisimple, then the constant of integration can always be chosen to make the momentum map coadjoint equivariant. However, in general the coadjoint action must be modified to make the map equivariant (this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1 cocycle on the group with values in , as first described by Souriau (1970).
где — экспоненциальное отображение, а — действие на . Пусть обозначает стяжение этого векторного поля с . Поскольку действует посредством симплектоморфизмов, следует, что форма замкнута (для всех из ). Предположим, что форма не только замкнута, но и точна, то есть существует функция такая, что . Если это так, то можно выбрать , чтобы сделать отображение линейным. Отображение момента для действия на — это отображение , такое что
the pairing between the two. Any in induces a vector field on describing the infinitesimal action of To be precise, at a point in the vector is
where is the exponential map and denotes the action on Let denote the contraction of this vector field with Because acts by symplectomorphisms, it follows that is closed (for all in ). Suppose that is not just closed but also exact, so that for some function If this holds, then one may choose the to make the map linear. A momentum map for the action on is a map such that
for all in Here is the function from to defined by The momentum map is uniquely defined up to an additive constant of integration (on each connected component). An action on a symplectic manifold is called Hamiltonian if it is symplectic and if there exists a momentum map. A momentum map is often also required to be equivariant, where acts on via the coadjoint action, and sometimes this requirement is included in the definition of a Hamiltonian group action. If the group is compact or semisimple, then the constant of integration can always be chosen to make the momentum map coadjoint equivariant. However, in general the coadjoint action must be modified to make the map equivariant (this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1 cocycle on the group with values in , as first described by Souriau (1970).
для всех из . Здесь функция из в определена как . Отображение момента однозначно определено с точностью до аддитивной константы интегрирования (на каждой связной компоненте). Действие на симплектическом многообразии называется гамильтоновым, если оно симплектическое и существует отображение момента. Часто также требуется, чтобы отображение момента было коэквивариантным, где действует на посредством сопряжённого действия, и иногда это требование включается в определение гамильтоновского действия группы. Если группа компактна или полупроста, то константу интегрирования всегда можно выбрать так, чтобы отображение момента стало коэквивариантным. Однако, в общем случае, сопряжённое действие необходимо модифицировать, чтобы сделать отображение эквивариантным (например, для евклидовой группы). Модификация осуществляется посредством 1-коцикла на группе со значениями в , как впервые описано Суриау (1970).
the pairing between the two. Any in induces a vector field on describing the infinitesimal action of To be precise, at a point in the vector is
where is the exponential map and denotes the action on Let denote the contraction of this vector field with Because acts by symplectomorphisms, it follows that is closed (for all in ). Suppose that is not just closed but also exact, so that for some function If this holds, then one may choose the to make the map linear. A momentum map for the action on is a map such that
for all in Here is the function from to defined by The momentum map is uniquely defined up to an additive constant of integration (on each connected component). An action on a symplectic manifold is called Hamiltonian if it is symplectic and if there exists a momentum map. A momentum map is often also required to be equivariant, where acts on via the coadjoint action, and sometimes this requirement is included in the definition of a Hamiltonian group action. If the group is compact or semisimple, then the constant of integration can always be chosen to make the momentum map coadjoint equivariant. However, in general the coadjoint action must be modified to make the map equivariant (this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1 cocycle on the group with values in , as first described by Souriau (1970).
Примеры карт импульса
В случае гамильтонова действия окружности, двойственное пространство алгебры Ли естественно отождествляется с , а карта момента — это просто гамильтонова функция, генерирующая действие окружности. Другой классический случай возникает, когда является котангенциальным расслоением над , а — евклидовой группой, порожденной вращениями и сдвигами. То есть, это шестимерная группа, полупрямое произведение и . Шесть компонент карты момента тогда представляют собой три угловых момента и три линейных момента. Пусть — гладное многообразие, а — его котангенциальное расслоение с проекцией . Пусть обозначает тавтологическую 1-форму на . Предположим, что действует на . Индуцированное действие на симплектическом многообразии , заданное для , является гамильтоновым с картой момента для всех . Здесь обозначает стяжение векторного поля , инфинитезимального действия , с 1-формой . Факты, упомянутые ниже, могут быть использованы для построения дополнительных примеров карт момента.
The facts mentioned below may be used to generate more examples of momentum maps.
Некоторые факты о картах импульса
Пусть $G$ и $H$ — группы Ли с алгебрами Ли $\mathfrak{g}$ и $\mathfrak{h}$ соответственно. Пусть $\mathcal{O}$ — косопряжённая орбита. Тогда существует единственная симплектическая структура на $\mathcal{O}$, такая что карта включения является картой момента. Пусть $G$ действует на симплектическом многообразии $M$ с картой момента $\mu_G$ для этого действия, и пусть $\phi: H \to G$ — гомоморфизм группы Ли, индуцирующий действие $H$ на $M$. Тогда действие $H$ на $M$ также является гамильтоновым, с картой момента, заданной как $\mu_H = \mu_G \circ \phi^*$, где $\phi^*$ — сопряжённое отображение к $\phi$ (обозначает единичный элемент). Особый интерес представляет случай, когда $H$ является подгруппой Ли $G$ и $\phi$ — карта включения. Пусть $M_1$ и $M_2$ — гамильтоновы многообразия. Тогда естественное действие $G \times H$ на $M_1 \times M_2$ является гамильтоновым, при этом карта момента является прямой суммой двух карт момента $\mu_{M_1}$ и $\mu_{M_2}$. Здесь $\mu_{M_1 \times M_2} = (\mu_{M_1}, \mu_{M_2})$, где $(\cdot, \cdot)$ обозначает проекцию. Пусть $M$ — гамильтоново многообразие, а $N$ — подмногообразие $M$, инвариантное относительно действия $G$, такое что ограничение симплектической формы на $M$ к $N$ не является вырожденным. Это наделяет $N$ симплектической структурой естественным образом. Тогда действие $G$ на $N$ также является гамильтоновым, с картой момента, являющейся композицией карты включения $N \hookrightarrow M$ с картой момента $\mu_M$ на $M$.
Симплектические коэффициенты
Предположим, что действие группы Ли на симплектическом многообразии является гамильтоновым, как определено выше, с эквивариантным отображением момента. Из гамильтонова условия следует, что инвариантно относительно . Предположим теперь, что действует свободно и правильно на . Тогда следует, что является регулярным значением , и, следовательно, и его факторпространство являются гладкими многообразиями. Факторпространство наследует симплектическую форму из ; то есть существует единственная симплектическая форма на факторпространстве, чей откат на равен ограничению на . Таким образом, факторпространство является симплектическим многообразием, называемым квоциентом Марсдена — Вайнштейна, симплектическим квоциентом или симплектическим редуцированием по , и обозначается . Его размерность равна размерности минус удвоенная размерность . В более общем случае, если G не действует свободно (но все же правильно), то было показано, что является стратифицированным симплектическим пространством, то есть стратифицированным пространством с согласованными симплектическими структурами на слоях.
Assume now that acts freely and properly on It follows that is a regular value of , so and its quotient are both smooth manifolds. The quotient inherits a symplectic form from ; that is, there is a unique symplectic form on the quotient whose pullback to equals the restriction of to Thus, the quotient is a symplectic manifold, called the Marsden–Weinstein quotient, after , symplectic quotient, or symplectic reduction of by and is denoted Its dimension equals the dimension of minus twice the dimension of
More generally, if G does not act freely (but still properly), then showed that is a stratified symplectic space, i. e. a stratified space with compatible symplectic structures on the strata.