Кіріспе

Геометрияда неусис (νεῦσις; көпше: νεύσεις) – ежелгі грек математиктері қолданған геометриялық құрылыс әдісі.

Геометриялық құрылыс

Неузистік конструкция берілген ұзындығы (a) сызық элементін екі берілген сызықтың (l және m) арасына орналастырудан тұрады, осылайша сызық элементі немесе оның созылмасы берілген P нүктесі арқылы өтеді. Яғни, сызық элементінің бір ұшы l сызығында, екінші ұшы m сызығында болуы керек, ал сызық элементі P нүктесіне қарай "бұрылуы" керек.

P нүктесі неузистің полюсі деп аталады, l сызығы – директриса немесе жетекші сызық, ал m сызығы – тұтқа сызығы. a ұзындығы диастема (διάστημα) деп аталады. Неузистік конструкция P нүктесінің айналасында бұрылатын белгіленген сызғыш арқылы жүзеге асырылуы мүмкін (мұны P нүктесіне штырғын орнатып, содан кейін сызғышты штырғынға басу арқылы жасауға болады). Суретте сызғыштың бір шетінде сары көз және бағыттағыш белгілер бар: бұл сызғыштағы масштаб бөлімінің бастапқы нүктесі. Сызғыштағы екінші белгі (көк көз) бастапқы нүктеден a қашықтығын көрсетеді. Сары көзді l сызығы бойымен жылжытамыз, көк көз m сызығымен сәйкес келгенше. Осылайша табылған сызық элементінің орны суретте қою көк түсті жолақ ретінде көрсетілген.

Неузисті пайдалану

Неузеи маңызды болды, себебі олар кейде тек циркуль мен сызғыш көмегімен шешілмейтін геометриялық есептерді шешуге мүмкіндік береді. Мысалдарға кез келген бұрышты үш тең бөлікке бөлу және кубты екі еселеу кіреді. Сиракузалық Архимед (б.з.д. 287–212) және Александриялық Паппус (б.з. 290–350) сияқты математиктер неузеиді кеңінен қолданды; Исаак Ньютон (1642–1726) олардың ой-пікірлерін жалғастырып, сондай-ақ неузеи құралымдарын қолданды. Дегенмен, уақыт өте келе бұл техника қолданыстан шығып қалды.

Тұрақты көпбұрыш

2002 жылы А. Барагар белгіленген сызық пен компаспен салынатын кез келген нүктенің , , өрістерінің мұнарасында жататындығын көрсетті, мұнда әр қадамдағы кеңею дәрежесі 6-дан аспайды. 128 бұрыштан төменгі барлық жай қуатты көпбұрыштар үшін, бұл 23, 29, 43, 47, 49, 53, 59, 67, 71, 79, 83, 89, 103, 107, 113, 121 және 127 бұрыштардың невузис арқылы салына алмайтынын көрсетуге жеткілікті. (Егер дұрыс p бұрышы салынатын болса, онда ол да салынады, ал осы жағдайларда p − 1 санының жай көбейткіші 5-тен жоғары.) 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120 және 128 бұрыштарды тек түзу сызық пен компаспен салуға болады, ал 7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 91, 95, 97, 104, 105, 108, 109, 111, 112, 114, 117, 119 және 126 бұрыштарды бұрыш үштен бөлу арқылы салуға болады. Дегенмен, жалпы алғанда, барлық бесінші дәрежелі полиномдардың (квинтикалардың) невузис арқылы салынатын түбірлері бар екені белгісіз, бұл 11, 25, 31, 41, 61, 101 және 125 бұрыштар үшін маңызды. Бенджамин мен Снайдер 2014 жылы дұрыс 11 бұрыштың невузис арқылы салынатындығын көрсетті; 25, 31, 41, 61, 101 және 125 бұрыштар мәселесі әлі де ашық. Жалпы алғанда, 5-тен үлкен 5-тің барлық қуаттарын белгіленген сызық пен компаспен салу мәселесі де ашық, сондай-ақ p = 2r3s5t + 1 түріндегі 11-ден үлкен барлық жай сандар да ашық, мұнда t > 0 (11-ден үлкен және 10-ға бөлінетін жай саннан бірге артық болатын барлық жай сандар).