Введение
Геометрическое построение, использовавшееся в древнегреческой математике. В геометрии, неусис (νεῦσις; множественное число: νεύσεις) — это метод геометрического построения, который применялся в античности греческими математиками.
In geometry, the neusis (νεῦσις; ; plural: νεύσεις) is a geometric construction method that was used in antiquity by Greek mathematicians.
Геометрическая конструкция
Конструкция неузса состоит в размещении линейного элемента заданной длины (a) между двумя заданными линиями (l и m) таким образом, чтобы линейный элемент или его продолжение проходили через заданную точку P. То есть, один конец линейного элемента должен лежать на линии l, другой конец – на линии m, при этом линейный элемент должен быть "направлен" к точке P. Точка P называется полюсом неузса, линия l – директрисой или направляющей, а линия m – удерживающей линией. Длина a называется диастемой (διάστημα). Конструкцию неузса можно выполнить с помощью размеченной линейки, вращающейся вокруг точки P (это достигается, например, фиксацией линейки вокруг точки P с помощью штифта). На рисунке один конец линейки отмечен желтым глазом с перекрестием: это начало отсчета шкалы на линейке. Вторая отметка на линейке (синий глаз) указывает расстояние a от начала отсчета. Желтый глаз перемещается вдоль линии l, пока синий глаз не совпадет с линией m. Положение найденного таким образом линейного элемента показано на рисунке темно-синей полосой.
Point P is called the pole of the neusis, line l the directrix, or guiding line, and line m the catch line. Length a is called the diastema (διάστημα). A neusis construction might be performed by means of a marked ruler that is rotatable around the point P (this may be done by putting a pin into the point P and then pressing the ruler against the pin). In the figure one end of the ruler is marked with a yellow eye with crosshairs: this is the origin of the scale division on the ruler. A second marking on the ruler (the blue eye) indicates the distance a from the origin. The yellow eye is moved along line l, until the blue eye coincides with line m. The position of the line element thus found is shown in the figure as a dark blue bar.
Использование неузиса
Новые методы были важны, поскольку они иногда предоставляли способ решения геометрических задач, неразрешимых только с помощью циркуля и линейки. Примерами служат трисекция произвольного угла на три равные части и удвоение куба. Математики, такие как Архимед Сиракузский (287–212 гг. до н.э.) и Папп Александрийский (290–350 гг. н.э.), свободно использовали неосеизы; сэр Исаак Ньютон (1642–1726) придерживался их подхода и также применял построения с помощью неосеизов. Тем не менее, со временем эта техника вышла из употребления.
Регулярные многоугольники
В 2002 году А. Барагар показал, что каждая точка, построимая с помощью отмеренной линейки и циркуля, лежит в башне полей над , , такая, что степень расширения на каждом шагу не превышает 6. Для всех многоугольников с числом сторон, являющимся степенью простого числа и меньшим 128, этого достаточно, чтобы показать, что правильные 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, 89-, 103-, 107-, 113-, 121- и 127-угольники не могут быть построены с помощью неузиса. (Если правильный p-угольник построим, то построим, и в этих случаях p − 1 имеет простой делитель, больший 5.) Правильные 3-, 4-, 5-, 6-, 8-, 10-, 12-, 15-, 16-, 17-, 20-, 24-, 30-, 32-, 34-, 40-, 48-, 51-, 60-, 64-, 68-, 80-, 85-, 96-, 102-, 120- и 128-угольники могут быть построены только с помощью линейки и циркуля, а 7-, 9-, 13-, 14-, 18-, 19-, 21-, 26-, 27-, 28-, 35-, 36-, 37-, 38-, 39-, 42-, 52-, 54-, 56-, 57-, 63-, 65-, 70-, 72-, 73-, 74-, 76-, 78-, 81-, 84-, 91-, 95-, 97-, 104-, 105-, 108-, 109-, 111-, 112-, 114-, 117-, 119- и 126-угольники – с помощью трисекции угла. Однако, в общем случае, неизвестно, имеют ли все квинтики (полиномы пятой степени) корни, построимые с помощью неузиса, что актуально для 11-, 25-, 31-, 41-, 61-, 101- и 125-угольников. Бенджамин и Снайдер показали в 2014 году, что правильный 11-угольник построим с помощью неузиса; 25-, 31-, 41-, 61-, 101- и 125-угольники остаются открытыми проблемами. В более общем плане, построимость всех степеней 5, больших 5, с помощью отмеренной линейки и циркуля является открытой проблемой, наряду со всеми простыми числами, большими 11, вида p = 2r3s5t + 1, где t > 0 (все простые числа, которые больше 11 и равны единице плюс число, кратное 10).