Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сандар теориясындағы математикалық мәселе
Mathematical problem in number theory
Архимедтің мал есептеу мәселесі (немесе проблема бовинумы немесе проблема Архимедис) – бүтін сандармен шешілетін полиномдық теңдеулерді зерттейтін Диофантиандық талдау саласындағы мәселе. Архимедке жатқызылатын бұл мәселе күн құдайының мал басының санын белгілі бір шектеулер бойынша есептеуді қамтиды. Мәселені 1773 жылы Готтольд Ефрем Лессинг Германияның Вольфенбюттель қаласындағы Герцог Август кітапханасында қырық төрт тармақты поэмасы бар грек қолжазбасында тапқан. Мәселе бірнеше жыл бойы шешілмей келді, себебі шешімге қатысты үлкен сандарды есептеу қиын болды. Жалпы шешімді 1880 жылы Германияның Дрезден қаласындағы Gymnasium zum Heiligen Kreuz (Қасиетті Крест гимназиясы) директоры де (1845–1916) тапты. Логарифмдік кестелерді қолданып, ол ең кішкентай шешімнің алғашқы цифрларын есептеп, оның шамамен 7.76e206544 малға тең екенін көрсетті, бұл байқалатын ғаламға сыятыннан әлдеқайда көп. Ондық түрі адамдарға дәл есептеуге тым ұзын, бірақ компьютердегі жоғары дәлдікті арифметикалық пакеттер оны толық жаза алады.
Archimedes's cattle problem (or the problema bovinum or problema Archimedis) is a problem in Diophantine analysis, the study of polynomial equations with integer solutions. Attributed to Archimedes, the problem involves computing the number of cattle in a herd of the sun god from a given set of restrictions. The problem was discovered by Gotthold Ephraim Lessing in a Greek manuscript containing a poem of forty four lines, in the Herzog August Library in Wolfenbüttel, Germany in 1773. The problem remained unsolved for a number of years, due partly to the difficulty of computing the huge numbers involved in the solution. The general solution was found in 1880 by de (1845–1916), headmaster of the Gymnasium zum Heiligen Kreuz (Gymnasium of the Holy Cross) in Dresden, Germany. Using logarithmic tables, he calculated the first digits of the smallest solution, showing that it is about 7.76e206544 cattle, far more than could fit in the observable universe. The decimal form is too long for humans to calculate exactly, but multiple precision arithmetic packages on computers can write it out explicitly.
Тарих
1769 жылы Готтольд Ефрем Лессинг Германияның Вольфенбюттель қаласындағы Герцог Август кітапханасының кітапханашысы болып тағайындалды, онда көптеген грек және латын қолжазбалары сақталған. Бірнеше жыл өткен соң Лессинг осы қолжазбалардың кейбіреулерін түсіндірмелермен бірге аудармаларын жариялады. Олардың арасында күн құдайының мал басын табуға шақыратын арифметикалық есеп қамтылған қырық төрт таралған грек өлеңі болды. Қазір бұл туынды Архимедке жатқызылады.
In 1769, Gotthold Ephraim Lessing was appointed librarian of the Herzog August Library in Wolfenbüttel, Germany, which contained many Greek and Latin manuscripts. A few years later, Lessing published translations of some of the manuscripts with commentaries. Among them was a Greek poem of forty four lines, containing an arithmetical problem which asks the reader to find the number of cattle in the herd of the god of the sun. It is now generally credited to Archimedes.
Шешім
Мәселенің бірінші бөлігін теңдеулер жүйесін құру арқылы оңай шешуге болады. Егер ақ, қара, ала және сары бұқалардың саны және , ал ақ, қара, ала және сары сиырлардың саны және деп жазылса, онда мәселе – жеті теңдеуі бар сегіз белгісізі бар жүйенің шешімін табу болып табылады. Бұл жүйе белгісіз және оның шексіз көп шешімі бар. Жеті теңдеуді қанағаттандыратын ең кіші оң бүтін сандар:
The first part of the problem can be solved readily by setting up a system of equations. If the number of white, black, dappled, and yellow bulls are written as and , and the number of white, black, dappled, and yellow cows are written as and , the problem is simply to find a solution to
which is a system of seven equations with eight unknowns. It is indeterminate and has infinitely many solutions. The least positive integers satisfying the seven equations are
which is a total of 50,389,082 cattle, and the other solutions are integral multiples of these. Note that given the prime number p = 4657 then the first four numbers are multiples of p, and both p and p+1 will appear repeatedly below. The second part of the problem states that is a square number, and is a triangular number. The general solution to this part of the problem was first found by A. Amthor in 1880. The following version of it was described by H. W. Lenstra,
Бұл барлығы 50 389 082 бас ірі қара мал, ал қалған шешімдер осы сандардың бүтін еселіктері болып табылады. Егер p = 4657 жай саны болса, онда алғашқы төрт сан p-ге бөлінеді, ал p және p+1 төменде қайта-қайта кездеседі. Мәселенің екінші бөлігінде саны толық квадрат, ал саны үшбұрышты сан деп көрсетілген. Мәселенің осы бөлігіне алғашқы жалпы шешімді 1880 жылы А. Амтор тапқан. Оның келесі нұсқасын Х. В. Ленстра сипаттады.
The first part of the problem can be solved readily by setting up a system of equations. If the number of white, black, dappled, and yellow bulls are written as and , and the number of white, black, dappled, and yellow cows are written as and , the problem is simply to find a solution to
which is a system of seven equations with eight unknowns. It is indeterminate and has infinitely many solutions. The least positive integers satisfying the seven equations are
which is a total of 50,389,082 cattle, and the other solutions are integral multiples of these. Note that given the prime number p = 4657 then the first four numbers are multiples of p, and both p and p+1 will appear repeatedly below. The second part of the problem states that is a square number, and is a triangular number. The general solution to this part of the problem was first found by A. Amthor in 1880. The following version of it was described by H. W. Lenstra,