Введение

Математическая задача в теории чисел

Проблема скота Архимеда (или problema bovinum, или проблема Архимеда) — это задача в диофантовом анализе, разделе математики, изучающем полиномиальные уравнения с целочисленными решениями. Задача приписывается Архимеду и заключается в вычислении количества скота в стаде бога солнца при заданных ограничениях. Проблема была обнаружена Готтфридом Эфраимом Лессингом в греческом манускрипте, содержащем стихотворение из сорока четырех строк, в библиотеке Герцога Августа в Вольфенбюттеле, Германия, в 1773 году. Задача оставалась нерешенной в течение нескольких лет, отчасти из-за сложности вычисления огромных чисел, участвующих в решении. Общее решение было найдено в 1880 году де (1845–1916), директором гимназии zum Heiligen Kreuz (Гимназия Святого Креста) в Дрездене, Германия. Используя логарифмические таблицы, он вычислил первые цифры наименьшего решения, показав, что оно составляет приблизительно 7,76e206544 голов скота, что значительно превышает количество, которое могло бы поместиться во видимой Вселенной. Десятичная форма слишком длинна для точного вычисления человеком, но специализированные вычислительные пакеты на компьютерах позволяют записать её в явном виде.

История

В 1769 году Готтольд Эфраим Лессинг был назначен библиотекарем библиотеки Герцога Августа в Вольфенбюттеле (Германия), в которой хранилось множество греческих и латинских рукописей. Спустя несколько лет Лессинг опубликовал переводы некоторых рукописей с комментариями. Среди них была греческая поэма в сорок четыре строки, содержащая арифметическую задачу, предлагающую читателю определить количество голов скота в стаде бога солнца. В настоящее время авторство поэмы обычно приписывают Архимеду.

Решение

Первую часть задачи можно легко решить, составив систему уравнений. Если число белых, черных, пегих и желтых быков обозначить как и , а число белых, черных, пегих и желтых коров – как и , то задача сводится к поиску решения системы из семи уравнений с восемью неизвестными:

Эта система неопределённа и имеет бесконечно много решений. Наименьшие положительные целые числа, удовлетворяющие семи уравнениям, составляют в общей сложности 50 389 082 голов скота, а остальные решения являются целочисленными кратными этим числам. Следует отметить, что при заданном простом числе p = 4657 первые четыре числа кратны p, а p и p+1 будут неоднократно встречаться ниже. Вторая часть задачи утверждает, что является полным квадратом, а – треугольным числом. Общее решение этой части задачи впервые было найдено А. Амтором в 1880 году. Следующая версия решения была описана Х. В. Ленстрой.