Кіріспе
Математикалық функциялар
Математикада кері гиперболалық функциялар – гиперболалық функцияларға кері, кері тригонометриялық функцияларға ұқсас. Көп қолданылатыны алты: кері гиперболалық синус, кері гиперболалық косинус, кері гиперболалық тангенс, кері гиперболалық косекант, кері гиперболалық секант және кері гиперболалық котангенс. Гиперболалық функцияның берілген мәні үшін кері гиперболалық функция сәйкес гиперболалық бұрыш шамасын береді, мысалы, және . Гиперболалық бұрыш шамасы – Лоренц жазықтығында өлшенген бірлік гипербола доғасының ұзындығы (Евклид жазықтығындағы гиперболалық доғаның ұзындығы емес), сондай-ақ тиісті гиперболалық сектордың ауданының екі еселенген шамасы. Бұл, Евклид жазықтығындағы бірлік шеңбер доғасының ұзындығына немесе сәйкес шеңберлік сектордың ауданының екі еселенген шамасына ұқсас, осылайша шеңберлік бұрыш шамасы анықталады. Балама ретінде, гиперболалық бұрыш – гипербола секторының ауданы. Кейбір авторлар кері гиперболалық функцияларды гиперболалық аудан функциялары деп атайды. Гиперболалық функциялар гиперболалық геометриядағы бұрыштар мен қашықтықтарды есептеуде қолданылады. Олар сондай-ақ көптеген сызықты дифференциалдық теңдеулердің (мысалы, катенарды анықтайтын теңдеу), кубтық теңдеулердің және Декарт координаттарындағы Лаплас теңдеуінің шешімдерінде кездеседі. Лаплас теңдеулері физиканың көптеген салаларында маңызды, оның ішінде электромагниттік теория, жылу алмасу, сұйықтық динамикасы және арнайы салыстырмалылық теориясы.
For a given value of a hyperbolic function, the inverse hyperbolic function provides the corresponding hyperbolic angle measure, for example and Hyperbolic angle measure is the length of an arc of a unit hyperbola as measured in the Lorentzian plane (not the length of a hyperbolic arc in the Euclidean plane), and twice the area of the corresponding hyperbolic sector. This is analogous to the way circular angle measure is the arc length of an arc of the unit circle in the Euclidean plane or twice the area of the corresponding circular sector. Alternately hyperbolic angle is the area of a sector of the hyperbola Some authors call the inverse hyperbolic functions hyperbolic area functions. Hyperbolic functions occur in the calculations of angles and distances in hyperbolic geometry. It also occurs in the solutions of many linear differential equations (such as the equation defining a catenary), cubic equations, and Laplace's equation in Cartesian coordinates. Laplace's equations are important in many areas of physics, including electromagnetic theory, heat transfer, fluid dynamics, and special relativity.
Нөмірлік
Ең ерте және кеңінен қабылданған символдар кері шеңберлік функцияларға (арксин және т.б.) ұқсас түрде префикс арк-ты (яғни: arcsinh, arccosh, arctanh, arcsech, arccsch, arccoth) қолданады. Лоренциан жазықтығында (фигураның псевдо-Евклид жазықтығы (1, 1)) немесе гиперболалық сан жазықтығындағы бірлік гипербола ("Лоренциан шеңбері") үшін гиперболалық бұрыш өлшемі (гиперболалық функцияларға аргумент) шынында да гиперболалық доғаның доға ұзындығы болып табылады. Сонымен қатар, белгіленуі және т.б. жиі кездеседі, бірақ үстеме әріптің -1 дәреже ретінде қате түсіндірілмеуіне назар аудару керек. Стандарттық конвенция бойынша немесе дегеніміз кері функцияны, ал немесе дегеніміз өзара шаманы білдіреді. Әсіресе, функция құрамын емес, дәреже көрсету үшін оң бүтін сандарды қолдану жиі кездеседі, мысалы, әдеттегідей дегеніміз және емес.
Гиперболалық функциялардың аргументі Евклид жазықтығында гиперболалық доғаның доға ұзындығы емес болғандықтан, кейбір авторлар арк префиксін сынға алып, ar (ауданы үшін) немесе arg (аргумент үшін) префиксін қолдануды ұсынады. Осы ұсынысқа сәйкес, ISO 80000-2 стандартының қысқартулары ar префиксін қолданады (яғни: arsinh, arcosh, artanh, arsech, arcsch, arcoth). Компьютерлік бағдарламалау тілдерінде кері шеңберлік және гиперболалық функциялар көбінесе қысқа префикспен аталады (asinh және т.б.). Бұл мақалада ыңғайлылық үшін ар префиксі тұрақты түрде қолданылады.
Логарифмдер бойынша анықтамалар
Гиперболалық функциялар экспоненциалдық функцияның квадраттық рационалдық функциялары болғандықтан, оларды квадрат теңдеу арқылы шешуге болады және одан кейін табиғи логарифм түрінде жазуға болады. Кешенді аргументтер үшін кері тригонометриялық және гиперболалық функциялар, квадрат түбір және табиғи логарифм – барлығы көп мәнді функциялар.
Деривативтер
Бұл формулаларды гиперболалық функциялардың туындылары тұрғысынан шығаруға болады. Мысалы, егер , онда .
Күрделі жазықтықтағы негізгі мәндер
Күрделі айнымалының функциялары ретінде кері гиперболалық функциялар – шекті сандағы нүктелерден басқа, аналитикалық болатын көпмәнді функциялар. Мұндай функция үшін негізгі құнды анықтау қалыпты жағдай, ол – күрделі жазықтықты құрайтын доменде, шекті сандағы доғалар (әдетте жарты сызықтар немесе сызық сегменттері) алынып тасталғанда, көпмәнді функцияның бір нақты тармағымен сәйкес келетін бірмәнді аналитикалық функция. Бұл доғалар тармақ кесігі деп аталады. Тармақты анықтау үшін, яғни әрбір нүктеде көпмәнді функцияның қай мәні қарастырылатынын анықтау үшін, оны әдетте белгілі бір нүктеде анықтайды және негізгі мәннің анықталу аймағындағы мәнді аналитикалық жалғастыру арқылы есептейді. Мүмкіндігінше, негізгі құнды тікелей анықтаған дұрыс – аналитикалық жалғастыруға жүгінбестен. Мысалы, квадрат түбір үшін негізгі құн оң нақты бөлігі бар квадрат түбір ретінде анықталады. Бұл бірмәнді аналитикалық функцияны анықтайды, ол айнымалының оң емес нақты мәндерінен басқа барлық жерде анықталған (онда екі квадрат түбірдің нақты бөлігі нөлге тең). Квадрат түбір функциясының негізгі құны әрі қарай осылай белгіленеді. Сол сияқты, логарифмнің негізгі құны, әрі қарай осылай белгіленеді, – қиял бөлігінің абсолюттік мәні ең кіші болатын мән ретінде анықталады. Ол айнымалының оң емес нақты мәндерінен басқа барлық жерде анықталған, себебі олар үшін логарифмнің екі әртүрлі мәні ең төменгі мәнге жетеді. Барлық кері гиперболалық функциялар үшін негізгі құн квадрат түбір және логарифм функцияларының негізгі құндары арқылы анықталуы мүмкін. Дегенмен, кейбір жағдайларда, формулалар дұрыс негізгі құнды бермейді, себебі олар анықталу аймағын тым кішкентай етіп береді және бір жағдайда аймақ байланысты емес.
Инертті гиперболалық косинустың негізгі мәні
Берілген кері гиперболалық косинус формуласы ыңғайлы емес, себебі логарифм және квадрат түбірдің негізгі мәндеріне ұқсас, аркоштың негізгі мәні нақты емес z үшін анықталмайды. Сондықтан квадрат түбірді көбейткіштерге жіктеу қажет, нәтижесінде
Квадрат түбірлердің екі негізгі мәні де анықталған, егер z нақты интервалға (−∞, 1] жатпаса ғана. Егер логарифмнің аргументі нақты болса, онда z нақты және сол таңбаға ие. Осылайша, жоғарыдағы формула нақты интервалдан тыс (−∞, 1] аркоштың негізгі мәнін анықтайды, яғни бұл бірегей тармақ кесімі болып табылады.
Кері гиперболалық секанттың негізгі мәні
Мұнда, кері гиперболалық косинус жағдайындағыдай, біз квадрат түбірді көбейткіштерге жіктеуіміз керек. Бұл негізгі мәнді береді. Егер квадрат түбірдің аргументі нақты болса, онда z нақты болады, және одан кейін квадрат түбірлердің екі негізгі мәні анықталады, z нақты болса және (−∞, 0] немесе [1, +∞) аралықтарының біріне жатса, басқа жағдайда анықталмайды. Егер логарифмнің аргументі нақты және теріс болса, онда z да нақты және теріс болады. Осыған байланысты, арсехтің негізгі мәні жоғарыдағы формула бойынша екі тармақты кесуден тыс, нақты аралықтар (−∞, 0] және [1, +∞) бойынша дұрыс анықталады. 1=z = 0 үшін, тармақты кесулердің біріне кіретін ерекше нүкте бар.
If the argument of a square root is real, then z is real, and it follows that both principal values of square roots are defined, except if z is real and belongs to one of the intervals (−∞, 0] and [1, +∞). If the argument of the logarithm is real and negative, then z is also real and negative. It follows that the principal value of arsech is well defined, by the above formula outside two branch cuts, the real intervals (−∞, 0] and [1, +∞). For 1=z = 0, there is a singular point that is included in one of the branch cuts.
Графикалық бейнелеу
Инверс гиперболалық функциялардың негізгі мәндерінің келесі графикалық бейнелеуінде тармақ кесулері түстің үздіксіздігі ретінде көрінеді. Тармақ кесулерінің толығымен үздіксіздіктер ретінде көрсетілуі, осы негізгі мәндерді үлкенірек аймақтарда анықталған аналитикалық функцияларға кеңейту мүмкін еместігін көрсетеді. Яғни, жоғарыда анықталған тармақ кесулері ең минималды болып табылады.