Введение
Математические функции
In mathematics, the inverse hyperbolic functions are inverses of the hyperbolic functions, analogous to the inverse circular functions. There are six in common use: inverse hyperbolic sine, inverse hyperbolic cosine, inverse hyperbolic tangent, inverse hyperbolic cosecant, inverse hyperbolic secant, and inverse hyperbolic cotangent. They are commonly denoted by the symbols for the hyperbolic functions, prefixed with arc or ar
For a given value of a hyperbolic function, the inverse hyperbolic function provides the corresponding hyperbolic angle measure, for example and Hyperbolic angle measure is the length of an arc of a unit hyperbola as measured in the Lorentzian plane (not the length of a hyperbolic arc in the Euclidean plane), and twice the area of the corresponding hyperbolic sector. This is analogous to the way circular angle measure is the arc length of an arc of the unit circle in the Euclidean plane or twice the area of the corresponding circular sector. Alternately hyperbolic angle is the area of a sector of the hyperbola Some authors call the inverse hyperbolic functions hyperbolic area functions. Hyperbolic functions occur in the calculations of angles and distances in hyperbolic geometry. It also occurs in the solutions of many linear differential equations (such as the equation defining a catenary), cubic equations, and Laplace's equation in Cartesian coordinates. Laplace's equations are important in many areas of physics, including electromagnetic theory, heat transfer, fluid dynamics, and special relativity.
В математике обратные гиперболические функции являются обратными к гиперболическим функциям, аналогично обратным тригонометрическим функциям. Существует шесть наиболее часто используемых: обратный гиперболический синус, обратный гиперболический косинус, обратный гиперболический тангенс, обратный гиперболический косеканс, обратный гиперболический секанс и обратный гиперболический котангенс. Они обычно обозначаются символами, соответствующими гиперболическим функциям, с добавлением префикса arc или ar.
In mathematics, the inverse hyperbolic functions are inverses of the hyperbolic functions, analogous to the inverse circular functions. There are six in common use: inverse hyperbolic sine, inverse hyperbolic cosine, inverse hyperbolic tangent, inverse hyperbolic cosecant, inverse hyperbolic secant, and inverse hyperbolic cotangent. They are commonly denoted by the symbols for the hyperbolic functions, prefixed with arc or ar
For a given value of a hyperbolic function, the inverse hyperbolic function provides the corresponding hyperbolic angle measure, for example and Hyperbolic angle measure is the length of an arc of a unit hyperbola as measured in the Lorentzian plane (not the length of a hyperbolic arc in the Euclidean plane), and twice the area of the corresponding hyperbolic sector. This is analogous to the way circular angle measure is the arc length of an arc of the unit circle in the Euclidean plane or twice the area of the corresponding circular sector. Alternately hyperbolic angle is the area of a sector of the hyperbola Some authors call the inverse hyperbolic functions hyperbolic area functions. Hyperbolic functions occur in the calculations of angles and distances in hyperbolic geometry. It also occurs in the solutions of many linear differential equations (such as the equation defining a catenary), cubic equations, and Laplace's equation in Cartesian coordinates. Laplace's equations are important in many areas of physics, including electromagnetic theory, heat transfer, fluid dynamics, and special relativity.
Для заданного значения гиперболической функции обратная гиперболическая функция предоставляет соответствующую меру гиперболического угла, например, и . Мера гиперболического угла – это длина дуги единичной гиперболы, измеренная в лоренцевой плоскости (а не длина гиперболической дуги в евклидовой плоскости), и равна удвоенной площади соответствующего гиперболического сектора. Это аналогично тому, как круговой угол измеряется длиной дуги единичной окружности в евклидовой плоскости или удвоенной площадью соответствующего кругового сектора. В качестве альтернативы, гиперболический угол можно определить как площадь сектора гиперболы. Некоторые авторы называют обратные гиперболические функции функциями гиперболической площади. Гиперболические функции используются при вычислениях углов и расстояний в гиперболической геометрии. Они также встречаются в решениях многих линейных дифференциальных уравнений (например, уравнения, определяющего цепную линию), кубических уравнений и уравнения Лапласа в декартовых координатах. Уравнения Лапласа играют важную роль во многих областях физики, включая электромагнитную теорию, теплопередачу, гидродинамику и специальную теорию относительности.
In mathematics, the inverse hyperbolic functions are inverses of the hyperbolic functions, analogous to the inverse circular functions. There are six in common use: inverse hyperbolic sine, inverse hyperbolic cosine, inverse hyperbolic tangent, inverse hyperbolic cosecant, inverse hyperbolic secant, and inverse hyperbolic cotangent. They are commonly denoted by the symbols for the hyperbolic functions, prefixed with arc or ar
For a given value of a hyperbolic function, the inverse hyperbolic function provides the corresponding hyperbolic angle measure, for example and Hyperbolic angle measure is the length of an arc of a unit hyperbola as measured in the Lorentzian plane (not the length of a hyperbolic arc in the Euclidean plane), and twice the area of the corresponding hyperbolic sector. This is analogous to the way circular angle measure is the arc length of an arc of the unit circle in the Euclidean plane or twice the area of the corresponding circular sector. Alternately hyperbolic angle is the area of a sector of the hyperbola Some authors call the inverse hyperbolic functions hyperbolic area functions. Hyperbolic functions occur in the calculations of angles and distances in hyperbolic geometry. It also occurs in the solutions of many linear differential equations (such as the equation defining a catenary), cubic equations, and Laplace's equation in Cartesian coordinates. Laplace's equations are important in many areas of physics, including electromagnetic theory, heat transfer, fluid dynamics, and special relativity.
Обозначение
Самые ранние и наиболее широко используемые обозначения применяют префикс "arc" (то есть: arcsinh, arccosh, arctanh, arcsech, arccsch, arccoth) по аналогии с обратными тригонометрическими функциями (arcsin и т.д.). Для единичной гиперболы ("лоренцевой окружности") в лоренцевой плоскости (псевдоевклидовой плоскости сигнатуры (1, 1)) или в плоскости гиперболических чисел, мера гиперболического угла (аргумент гиперболических функций) действительно соответствует длине дуги гиперболической дуги. Также распространено обозначение и т.п., однако следует избегать ошибочной интерпретации верхнего индекса −1 как показателя степени. Общепринято, что или обозначает обратную функцию, а или – величину, обратную по значению. Особенно непоследовательно то, что положительные целые числа в верхнем индексе обычно используются для обозначения степени, а не композиции функций, например, традиционно означает а не .
Поскольку аргумент гиперболических функций не является длиной дуги гиперболической дуги в евклидовой плоскости, некоторые авторы критиковали префикс "arc", предлагая вместо него использовать префикс "ar" (для площади) или "arg" (для аргумента). В соответствии с этой рекомендацией, стандарт ISO 80000-2 использует префикс "ar" (то есть: arsinh, arcosh, artanh, arsech, arcsch, arcoth). В языках программирования обратные тригонометрические и гиперболические функции часто именуются с использованием более короткого префикса "a" (asinh и т.д.). В данной статье для удобства последовательно будет использоваться префикс "ar".
Определения с точки зрения логарифмов
Поскольку гиперболические функции являются квадратичными рациональными функциями экспоненты, их можно выразить через квадратную формулу, а затем представить в терминах натурального логарифма. Для комплексных аргументов обратные циклические и гиперболические функции, квадратный корень и натуральный логарифм являются многозначными функциями.
Деривативы
Эти формулы могут быть выведены, используя производные гиперболических функций. Например, если , то таким образом.
Основные значения в сложной плоскости
Как функции комплексной переменной, обратные гиперболические функции являются многозначными функциями, которые аналитичны, за исключением конечного числа точек. Для такой функции обычно определяют главное значение, которое является однозначной аналитической функцией, совпадающей с одной конкретной ветвью многозначной функции, в области, состоящей из комплексной плоскости, из которой удалено конечное число дуг (обычно полупрямых или отрезков прямой). Эти дуги называются разрезами ветвей. Чтобы определить ветвь, то есть указать, какое значение многозначной функции рассматривается в каждой точке, обычно определяют её в конкретной точке и затем выводят значение во всей области определения главного значения посредством аналитического продолжения. Если возможно, лучше определить главное значение непосредственно, без обращения к аналитическому продолжению. Например, для квадратного корня главное значение определяется как квадратный корень с положительной вещественной частью. Это определяет однозначную аналитическую функцию, которая определена везде, кроме неположительных вещественных значений переменной (где два квадратных корня имеют нулевую вещественную часть). Это главное значение функции квадратного корня обозначается в дальнейшем. Аналогично, главное значение логарифма, обозначаемое в дальнейшем, определяется как значение, для которого мнимая часть имеет наименьший по модулю аргумент. Оно определено везде, кроме неположительных вещественных значений переменной, для которых два различных значения логарифма достигают минимума. Для всех обратных гиперболических функций главное значение может быть определено через главные значения квадратного корня и логарифма. Однако в некоторых случаях формулы не дают корректного главного значения, поскольку задают слишком малую область определения и, в одном случае, несвязную область.
Основное значение обратного гиперболического косинуса
Формула для обратного гиперболического косинуса, представленная в , неудобна, поскольку, как и в случае с основными значениями логарифма и квадратного корня, основное значение arcosh не было бы определено для мнимого z. Поэтому необходимо разложить квадратный корень на множители, что приводит к тому, что основные значения обоих квадратных корней определены, за исключением случаев, когда z принадлежит вещественному интервалу (−∞, 1]. Если аргумент логарифма вещественный, то z также вещественный и имеет тот же знак. Таким образом, указанная выше формула определяет основное значение arcosh вне вещественного интервала (−∞, 1], что и является единственным разрезом.
The principal values of the square roots are both defined, except if z belongs to the real interval (−∞, 1]. If the argument of the logarithm is real, then z is real and has the same sign. Thus, the above formula defines a principal value of arcosh outside the real interval (−∞, 1], which is thus the unique branch cut.
Основное значение обратного гиперболического секанта
Здесь, как и в случае с обратным гиперболическим косинусом, необходимо разложить квадратный корень на множители. Это дает главное значение.
Если аргумент квадратного корня действителен, то z также действителен, и следует, что оба главных значения квадратного корня определены, за исключением случаев, когда z действителен и принадлежит одному из интервалов (−∞, 0] и [1, +∞). Если аргумент логарифма действителен и отрицателен, то z также действителен и отрицателен. Следовательно, главное значение arsech хорошо определено по вышеприведенной формуле вне двух разрывов, то есть на действительных интервалах (−∞, 0] и [1, +∞). При z = 1 или z = 0 существует особая точка, которая входит в один из разрывов.
Графическое изображение
В следующем графическом представлении главных значений обратных гиперболических функций разрывы ветвей проявляются как разрывы цветовой шкалы. Тот факт, что целые разрывы ветвей видны как разрывы, указывает на то, что эти главные значения нельзя продолжить до аналитических функций, определенных на больших областях. Иными словами, указанные разрывы ветвей являются минимальными.