Кіріспе
Берілген үшбұрыштың қабырғаларынан қашықтықтарға негізделген координаттар жүйесі. Геометрияда, берілген үшбұрышқа қатысты нүктенің трилинейлік координаттары x : y : z – үшбұрыштың үш қабырғасынан бағытталған қатынасты қашықтықтарды көрсетеді. Трилинейлік координаттар – гомогенді координаттардың бір мысалы. x : y қатынасы – нүктеден A және B төбелеріне қарсы жатқан қабырғаларға (қажет болған жағдайда созылған) перпендикуляр қашықтықтардың қатынасы; y : z қатынасы – нүктеден B және C төбелеріне қарсы жатқан қабырғаларға, ал z : x қатынасы – C және A төбелеріне перпендикуляр қашықтықтардың қатынасы. Оң жақтағы суретте көрсетілген ішкі нүктенің трилинейлік координаттары – нақты қашықтықтар (a', b', c'), немесе кез келген оң тұрақты k үшін қатынас түрінде ka' : kb' : kc'. Егер нүкте анықтама үшбұрышының қабырғасында жатса, оның сәйкес трилинейлік координатасы 0 болады. Егер сыртқы нүкте үшбұрыштың ішкі жағынан қабырғаның қарсы жағында орналасса, онда оның осы қабырғаға байланысты трилинейлік координатасы теріс болады. Трилинейлік координаттардың барлығы оң емес болуы мүмкін емес.
In geometry, the trilinear coordinates x : y : z of a point relative to a given triangle describe the relative directed distances from the three sidelines of the triangle. Trilinear coordinates are an example of homogeneous coordinates. The ratio x : y is the ratio of the perpendicular distances from the point to the sides (extended if necessary) opposite vertices A and B respectively; the ratio y : z is the ratio of the perpendicular distances from the point to the sidelines opposite vertices B and C respectively; and likewise for z : x and vertices C and A. In the diagram at right, the trilinear coordinates of the indicated interior point are the actual distances (a', b', c'), or equivalently in ratio form, ka' : kb' : kc' for any positive constant k. If a point is on a sideline of the reference triangle, its corresponding trilinear coordinate is 0. If an exterior point is on the opposite side of a sideline from the interior of the triangle, its trilinear coordinate associated with that sideline is negative. It is impossible for all three trilinear coordinates to be non positive.
Нөмірлік
Үш сызықты координаттар үшін қатынас белгісі реттелген үштік белгіден гөрі жиірек қолданылады, ал соңғысы белгілі бір үшбұрысқа қатысты бағытталған қашықтықтардың үштігі үшін сақталады. Трилинейлік координаттарды олардың қатынасына әсер етпей кез келген мәнмен өзгертуге болады. Тіктөртбұрышты жақшамен берілген, үтірмен бөлінген үштік белгіленуі шатастыру тудыруы мүмкін, себебі дәстүрлі түрде бұл басқа үштіктерді көрсетеді, мысалы, , бірақ бұл эквивалентті қатынастар бірдей нүктені білдіреді.
Трилинейлік координаттар мен шеткі сызықтардан қашықтықтар арасында
Кез келген нүктенің орнын анықтау үшін x: y: z трилинейлік координаттарын таңдағанда, нүктенің қабырғаларынан нақты қашықтығы 1 = a' = kx, b' = ky, c' = kz арқылы беріледі, мұнда k төмендегі формула бойынша анықталады: a, b, c сәйкесінше BC, CA, AB қабырғаларының ұзындықтары, ал ∆ – △ABC үшбұрышының ауданы.
Барицентрикалық және трилинейлік координаттар арасында
Трилинейлік координаттары x: y: z нүктесінің барицентрлік координаттары ax: by: cz болады, мұнда a, b, c үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары. Керісінше, α: β: γ барицентрлік координаттары бар нүктеде трилинейлік координаттар болады.