Трехлинейные координаты в геометрии: описание положения точки относительно треугольника через расстояния до его сторон. Относительные расстояния, свойства и применение.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Система координат, основанная на расстояниях от сторон заданного треугольника.
Coordinate system based on distances from the sidelines of a given triangle
В геометрии трилинейные координаты x : y : z точки относительно заданного треугольника описывают относительные направленные расстояния от трех сторон треугольника. Трилинейные координаты являются примером однородных координат. Отношение x : y равно отношению перпендикулярных расстояний от точки до сторон, противоположных вершинам A и B соответственно (при необходимости продолженных); отношение y : z равно отношению перпендикулярных расстояний от точки до сторон, противоположных вершинам B и C соответственно; и аналогично для z : x и вершин C и A. На диаграмме справа трилинейными координатами указанной внутренней точки являются фактические расстояния (a', b', c'), или, эквивалентно, в виде отношения ka' : kb' : kc' для любой положительной константы k. Если точка лежит на стороне референтного треугольника, ее соответствующая трилинейная координата равна 0. Если внешняя точка находится на стороне, противоположной внутренней части треугольника, ее трилинейная координата, соответствующая этой стороне, отрицательна. Невозможно, чтобы все три трилинейные координаты были неположительными.
In geometry, the trilinear coordinates x : y : z of a point relative to a given triangle describe the relative directed distances from the three sidelines of the triangle. Trilinear coordinates are an example of homogeneous coordinates. The ratio x : y is the ratio of the perpendicular distances from the point to the sides (extended if necessary) opposite vertices A and B respectively; the ratio y : z is the ratio of the perpendicular distances from the point to the sidelines opposite vertices B and C respectively; and likewise for z : x and vertices C and A. In the diagram at right, the trilinear coordinates of the indicated interior point are the actual distances (a', b', c'), or equivalently in ratio form, ka' : kb' : kc' for any positive constant k. If a point is on a sideline of the reference triangle, its corresponding trilinear coordinate is 0. If an exterior point is on the opposite side of a sideline from the interior of the triangle, its trilinear coordinate associated with that sideline is negative. It is impossible for all three trilinear coordinates to be non positive.
Обозначение
Относительная запись для трилинейных координат часто используется вместо записи упорядоенной тройки, при этом последняя зарезервирована для троек направленных расстояний относительно конкретного треугольника. Трилинейные координаты можно масштабировать на любое произвольное значение, не изменяя их отношение. Запись тройки в скобках, разделенная запятыми, может приводить к путанице, поскольку традиционно она представляет собой другую тройку, чем, например, , но эти эквивалентные отношения представляют одну и ту же точку.
The ratio notation for trilinear coordinates is often used in preference to the ordered triple notation with the latter reserved for triples of directed distances relative to a specific triangle. The trilinear coordinates can be rescaled by any arbitrary value without affecting their ratio. The bracketed, comma separated triple notation can cause confusion because conventionally this represents a different triple than e. g. but these equivalent ratios represent the same point.
Между трилинейными координатами и расстояниями от боковых линий
Для любого выбора трилинейных координат x : y : z для определения точки, фактические расстояния от точки до сторон треугольника задаются выражениями 1/a' = kx, 1/b' = ky, 1/c' = kz, где k можно определить по формуле, в которой a, b, c – длины сторон BC, CA, AB соответственно, а ∆ – площадь треугольника ABC.
For any choice of trilinear coordinates x : y : z to locate a point, the actual distances of the point from the sidelines are given by 1=a' = kx, b' = ky, c' = kz where k can be determined by the formula in which a, b, c are the respective sidelengths BC, CA, AB, and ∆ is the area of △ABC.
Между барицентрическими и трилинейными координатами
Точка с трилинейными координатами x : y : z имеет барицентрические координаты ax : by : cz, где a, b, c – длины сторон треугольника. Обратно, точка с барицентрическими координатами α : β : γ имеет трилинейные координаты
A point with trilinear coordinates x : y : z has barycentric coordinates ax : by : cz where a, b, c are the sidelengths of the triangle. Conversely, a point with barycentrics α : β : γ has trilinear coordinates