Кіріспе
Алгебраның түрі, мүмкін ассоциативті емес.
In mathematics, a composition algebra A over a field K is a not necessarily associative algebra over K together with a nondegenerate quadratic form N that satisfies
for all x and y in A. A composition algebra includes an involution called a conjugation: The quadratic form is called the norm of the algebra. A composition algebra (A, ∗, N) is either a division algebra or a split algebra, depending on the existence of a non zero v in A such that N(v) = 0, called a null vector. When x is not a null vector, the multiplicative inverse of x is When there is a non zero null vector, N is an isotropic quadratic form, and "the algebra splits".
Математикада, K өрісі үстіндегі композициялық алгебра A – міндетті түрде ассоциативті емес алгебра, K-ге қатысты, және А-дағы барлық x және y үшін келесі теңдік орындалады: . Композициялық алгебрада конъюгация деп аталатын инволюция болады: Квадраттық форма алгебраның нормасы деп аталады. Композициялық алгебра (A, ∗, N) – бөлгіш алгебра немесе бөлінген алгебра болып табылады, бұл A-да N(v) = 0 болатын нөлдік емес v вектордың болуына байланысты, ол нөлдік вектор деп аталады. Егер x нөлдік вектор болмаса, x-тің көбейтуге керісі болады. Егер нөлдік емес нөлдік вектор болса, N изотроптық квадраттық форма болып табылады, ал "алгебра бөлінеді".
In mathematics, a composition algebra A over a field K is a not necessarily associative algebra over K together with a nondegenerate quadratic form N that satisfies
for all x and y in A. A composition algebra includes an involution called a conjugation: The quadratic form is called the norm of the algebra. A composition algebra (A, ∗, N) is either a division algebra or a split algebra, depending on the existence of a non zero v in A such that N(v) = 0, called a null vector. When x is not a null vector, the multiplicative inverse of x is When there is a non zero null vector, N is an isotropic quadratic form, and "the algebra splits".
Құрылым теоремасы
Кез келген бірлік композициялық алгебра К өрісі бойынша, К-ден басталатын Кейли-Диксон құрылымын қайталап қолдану арқылы алынуы мүмкін (егер К-нің сипаттамасы 2-ден өзгеше болса) немесе 1=char(K) = 2 болса, 2 өлшемді композициялық субальгебра арқылы. Композициялық алгебраның мүмкін өлшемдері 1, 2, 4 және 8. 1 өлшемді композициялық алгебралар тек char(K) ≠ 2 болғанда ғана бар. 1 және 2 өлшемді композициялық алгебралар коммутативті және ассоциативті. 2 өлшемді композициялық алгебралар К өрісінің квадраттық кеңейтулері немесе К ⊕ К-ға изоморфты болады. 4 өлшемді композициялық алгебралар кватернион алгебралары деп аталады. Олар ассоциативті, бірақ коммутативті емес. 8 өлшемді композициялық алгебралар октонион алгебралары деп аталады. Олар ассоциативті де, коммутативті де емес. Терминологияны сақтау үшін 1 өлшемді алгебралар униар, ал 2 өлшемді алгебралар бинар деп аталады.
Composition algebras of dimension 4 are called quaternion algebras. They are associative but not commutative. Composition algebras of dimension 8 are called octonion algebras. They are neither associative nor commutative. For consistent terminology, algebras of dimension 1 have been called unarion, and those of dimension 2 binarion.