Введение

Тип алгебр, возможно, неассоциативных.

В математике композиционная алгебра A над полем K — это алгебра над K, не обязательно ассоциативная, вместе с вырожденной квадратичной формой N, удовлетворяющей следующему условию:

для всех x и y из A. Композиционная алгебра включает инволюцию, называемую сопряжением: квадратичная форма называется нормой алгебры. Композиционная алгебра (A, ∗, N) является либо алгеброй делений, либо расщепленной алгеброй, в зависимости от существования ненулевого вектора v в A, такого что N(v) = 0, называемого нулевым вектором. Если x не является нулевым вектором, то его мультипликативный обратный равен. При наличии ненулевого нулевого вектора N является изотропной квадратичной формой, и говорят, что "алгебра расщепляется".

Теорема структуры

Каждая унитальная композиционная алгебра над полем K может быть получена повторным применением конструкции Кейли-Диксона, начиная с K (если характеристика K не равна 2) или 2-мерной композиционной подалгебры (если char(K) = 2). Возможные размерности композиционных алгебр: 1, 2, 4 и 8. Одномерные композиционные алгебры существуют только при char(K) ≠ 2. Композиционные алгебры размерности 1 и 2 коммутативны и ассоциативны. Двумерные композиционные алгебры являются либо квадратичными расширениями поля K, либо изоморфны K ⊕ K. Четырёхмерные композиционные алгебры называются алгебрами кватернионов. Они ассоциативны, но не коммутативны. Восьмимерные композиционные алгебры называются алгебрами октанионов. Они не ассоциативны и не коммутативны. Для единообразия терминологии алгебры размерности 1 называются унионами, а алгебры размерности 2 – бинарными.