Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада Шур дөңес функциясы, сондай-ақ S дөңес, изотоникалық функция және ретті сақтайтын функция деп аталады, ол кез келген екі вектор үшін, егер біреуі екіншісінен үлкендік бойынша басым болса, онда олардың мәндері де сол ретпен орналасады. Бұл функция Исаи Шур есімімен аталған, және үлкендік теориясын зерттеуде қолданылады. Егер f функциясының теріс мәні -f Шур дөңес болса, онда ол "Шур ойыс" функциясы болып табылады.
In mathematics, a Schur convex function, also known as S convex, isotonic function and order preserving function is a function that for all such that is majorized by , one has that Named after Issai Schur, Schur convex functions are used in the study of majorization. A function f is 'Schur concave' if its negative, −f, is Schur convex.
Қасиеттері
Көлбеу және аргументтерінің орналасуы бойынша симметриялы әрбір функция Шур көлбеу болып табылады. Әрбір Шур көлбеу функциясы симметриялы, бірақ міндетті түрде көлбеу емес. Егер функция (қатаң) Шур көлбеу болса және функция (қатаң) монотонды өсуге ие болса, онда олардың қосындысы (қатаң) Шур көлбеу болады. Нақты интервалда анықталған көлбеу функция Шур көлбеу болып табылады.
Every function that is convex and symmetric (under permutations of the arguments) is also Schur convex. Every Schur convex function is symmetric, but not necessarily convex. If is (strictly) Schur convex and is (strictly) monotonically increasing, then is (strictly) Schur convex. If is a convex function defined on a real interval, then is Schur convex.
Мысалдар
Schur қуыс, ал Schur дөңес. Мұны анықтамасынан тікелей көруге болады. Шеннон энтропиясы функциясы Schur қуыс. Рени энтропиясы функциясы да Schur қуыс. Schur дөңес. Schur қуыс. Егер барлық элементарлық симметриялық функциялар Schur қуыс деп есептесек, онда мажоризацияның табиғи түсіндірмесі мынадай: егер онда таралуынан гөрі азрақ тараған. Сондықтан, статистикалық өзгергіштіктің өлшемдері Schur дөңес пе деп сұрау орынды. Дисперсия және стандартты ауытқу Schur дөңес функциялар, ал медиана абсолюттік ауытқуы – емес. Ықтималдық мысалы: Егер бір-бірімен алмастырылатын кездейсоқ шамалар болса, онда функциясы күтулердің бар екенін ескере отырып, функциясы ретінде Schur дөңес болады. Джини коэффициенті қатаң түрде Schur дөңес.
is Schur concave while is Schur convex. This can be seen directly from the definition. The Shannon entropy function is Schur concave. The Rényi entropy function is also Schur concave. is Schur convex. is Schur concave. The function is Schur concave, when we assume all In the same way, all the elementary symmetric functions are Schur concave, when A natural interpretation of majorization is that if then is less spread out than So it is natural to ask if statistical measures of variability are Schur convex. The variance and standard deviation are Schur convex functions, while the median absolute deviation is not. A probability example: If are exchangeable random variables, then the function is Schur convex as a function of , assuming that the expectations exist. The Gini coefficient is strictly Schur convex.