Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике, шур-выпуклая функция, также известная как S-выпуклая, изотоническая функция и функция, сохраняющая порядок, – это функция, для которой при всех таких, что вектор является мажорантом вектора , выполняется условие . Названа в честь Иссаи Шура, шур-выпуклая функция используется при изучении мажоризации. Функция f называется " Schur-вогнутой", если её отрицание, −f, является шур-выпуклой.
In mathematics, a Schur convex function, also known as S convex, isotonic function and order preserving function is a function that for all such that is majorized by , one has that Named after Issai Schur, Schur convex functions are used in the study of majorization. A function f is 'Schur concave' if its negative, −f, is Schur convex.
Свойства
Каждая функция, являющаяся выпуклой и симметричной (относительно перестановок аргументов), также является Шур-выпуклой. Каждая Шур-выпуклая функция симметрична, но не обязательно выпукла. Если функция (строго) Шур-выпукла, а функция (строго) монотонно возрастает, то функция (строго) Шур-выпукла. Если является выпуклой функцией, определенной на вещественном интервале, то является Шур-выпуклой.
Every function that is convex and symmetric (under permutations of the arguments) is also Schur convex. Every Schur convex function is symmetric, but not necessarily convex. If is (strictly) Schur convex and is (strictly) monotonically increasing, then is (strictly) Schur convex. If is a convex function defined on a real interval, then is Schur convex.
Примеры
Функция Шур вогнута, а функция Шур выпукла. Это следует непосредственно из определения. Функция энтропии Шеннона вогнута по Шур. Функция энтропии Рени также вогнута по Шур. Функция Шур выпукла. Функция Шур вогнута. Функция вогнута по Шур, если мы предполагаем, что все переменные неотрицательны. Аналогично, все элементарные симметричные функции вогнуты по Шур, если естественная интерпретация мажоризации заключается в том, что если , то распределение менее разбросано, чем . Поэтому естественно задаться вопросом, являются ли статистические меры изменчивости выпуклыми по Шур. Дисперсия и стандартное отклонение являются выпуклыми функциями по Шур, а медиана абсолютных отклонений – нет. Пример из теории вероятностей: если являются взаимозаменяемыми случайными величинами, то функция является выпуклой по Шур как функция , при условии существования математических ожиданий. Коэффициент Джини строго выпуклый по Шур.
is Schur concave while is Schur convex. This can be seen directly from the definition. The Shannon entropy function is Schur concave. The Rényi entropy function is also Schur concave. is Schur convex. is Schur concave. The function is Schur concave, when we assume all In the same way, all the elementary symmetric functions are Schur concave, when A natural interpretation of majorization is that if then is less spread out than So it is natural to ask if statistical measures of variability are Schur convex. The variance and standard deviation are Schur convex functions, while the median absolute deviation is not. A probability example: If are exchangeable random variables, then the function is Schur convex as a function of , assuming that the expectations exist. The Gini coefficient is strictly Schur convex.