Кіріспе
Өлшем теориясында Каратеодоридің кеңейту теоремасы (математик Константин Каратеодоридің есімімен аталған) белгілі бір жиын Ω-ның R кіші жиындарының жиынында анықталған кез келген алдын ала өлшемді R жиынымен туындаған σ-сақинадағы өлшемге кеңейтуге болады, және алдын ала өлшем σ-шекті болса, бұл кеңейту бірегей болады. Осының салдарынан, нақты сандардың барлық интервалдарын қамтитын сақинадағы кез келген алдын ала өлшемді нақты сандар жиынының Борель алгебрасына кеңейтуге болады. Бұл өлшем теориясының өте қуатты нәтижесі, және мысалы, Лебег өлшеміне алып келеді. Теорема кейде Каратеодори–Фреше кеңейту теоремасы, Каратеодори–Хопф кеңейту теоремасы, Хопф кеңейту теоремасы және Хан–Колмогоров кеңейту теоремасы деп те аталады.
In measure theory, Carathéodory's extension theorem (named after the mathematician Constantin Carathéodory) states that any pre measure defined on a given ring of subsets R of a given set Ω can be extended to a measure on the σ ring generated by R, and this extension is unique if the pre measure is σ finite. Consequently, any pre measure on a ring containing all intervals of real numbers can be extended to the Borel algebra of the set of real numbers. This is an extremely powerful result of measure theory, and leads, for example, to the Lebesgue measure. The theorem is also sometimes known as the Carathéodory–Fréchet extension theorem, the Carathéodory–Hopf extension theorem, the Hopf extension theorem and the Hahn–Kolmogorov extension theorem.
Ескертпелер
Бұл теорема ерекше, себебі ол өлшемді алдымен сигмалық аддитивтілігін тексеру оңай болатын жиындардың кіші алгебрасында анықтап құруға мүмкіндік береді, ал кейін бұл теорема оны сигмалық алгебраға кеңейтуге кепілдік береді. Бұл теореманың дәлелі тривиалды емес, өйткені ол жиындар алгебрасынан әлдеқайда үлкен сигмалық алгебраға кеңейтуді қажет етеді, кеңейтудің бірегей екендігіне (егер шекті болса) кепілдік береді, және сонымен қатар бастапқы функцияның сигмалық аддитивтілігін бұзбайды.
Мотивация
Өлшемдер теориясында бізді жартылай сақиналар мен сақиналардың өзі емес, олардың тудыратын σ-алгебралары қызықтырады. Идеясы мынада: жартылай сақинаға (мысалы, Стильджес өлшемдері) алдын ала өлшем құруға болады, одан кейін оны алдын ала өлшемге дейін, ал соңғысынан – σ-алгебраға дейін Каратеодори кеңейту теоремасы арқылы кеңейтуге болады. Жартылай сақиналар мен сақиналар арқылы тудырылған σ-алгебралар бірдей болғандықтан, бұл арадағы айырмашылық аса маңызды емес (кем дегенде өлшемдер теориясы контекстінде). Шындығында, Каратеодоридің кеңейту теоремасын жартылай өріспен алмастыру арқылы сәл жалпылауға болады. Жартылай сақинаның анықтамасы біршама күрделі көрінуі мүмкін, бірақ келесі мысал оның неліктен пайдалы екенін көрсетеді (үстімізден, ол бізге белгілі бір жартылай сақинаны қамтитын ең кішкентай сақинаның нақты бейнесін беруге мүмкіндік береді).
Мысал
a және b нақты сандары арқылы анықталған барлық жартылай ашық аралықтар жиынымен шектелген a-ның ішкі жиыны туралы ойлаңыз. Бұл жартылай сақина, бірақ толыққанды сақина емес. Stieltjes өлшемдері аралықтарда анықталады; жартылай сақинадағы саналатын қосымшалықты дәлелдеу тым қиын емес, себебі біз тек аралықтардың өзі аралық болатын саналатын біріккендерін қарастырамыз. Интервалдардың кез келген саналатын біріккендері үшін оны дәлелдеу Каратеодори теоремасы арқылы жүзеге асырылады.
Кеңейтудің бірегей еместігінің мысалдары
Егер алғы өлшем шекті болмаса, σ алгебрасына бірнеше кеңейту болуы мүмкін, тіпті осы кеңейтулердің өзі шекті болған жағдайда да (төмендегі "Via rationals" мысалына қараңыз).
Есептеу шарасы арқылы
Нақты түзудегі барлық жартылай ашық интервалдар [a,b) арқылы туындаған алгебраны алыңыз және егер олар бос емес болса, мұндай интервалдарға шексіз өлшем беріңіз. Каратеодори кеңейтуі бос емес барлық жиындықтарға шексіз өлшем береді. Тағы бір кеңейту – саноқ шарасы.
Рационалды жолдар арқылы
Бұл мысал жоғарыда келтірілгеннен толыққандырақ нұсқасы. Рационалды жабық-ашық аралық – бұл түріндегі кез келген жиынның ішкі жиыны, мұндағы . деп белгілейік және дегеніміз ішінде орналасқан рационалды жабық-ашық аралықтардың барлық ақырғы біріктірілімдерінің алгебрасы болсын. алгебра екенін дәлелдеу оңай. ішіндегі әрбір бос емес жиынның кардиналы екенін көру де оңай.
Let be and let be the algebra of all finite unions of rational closed open intervals contained in It is easy to prove that is, in fact, an algebra. It is also easy to see that the cardinal of every non empty set in is
деп санау жиыны функциясын анықтайық. шекті қосымша және қосымша екені анық. ішіндегі әрбір бос емес жиын шексіз болғандықтан, кез келген бос емес жиын үшін .
It is clear that is finitely additive and additive in Since every non empty set in is infinite, then, for every non empty set ,
Енді, дегеніміз алгебрасымен туындаған алгебра болсын. – бұл жиынының барлық ішкі жиындарының алгебрасы екенін көру оңай, және және екі де үстінде анықталған өлшемдер, екеуі де кеңейтілімдері. Осы жағдайда екі кеңейтілім де шекті, себебі саналады.
Фубини теоремасы арқылы
Тағы бір мысал, Фубини теоремасының σ-шексіз емес кеңістіктер үшін кейбір түрлерінің орындалмауымен тікелей байланысты. Бірлік аралықты Лебег өлшемімен және дискретті санау өлшемімен бірлік аралық деп есептейік. Сақинаны Lebesgue өлшенетін және кез келген жиынтықтың көбейтінділері арқылы құрастырайық, ал осы жиынға осы өлшемді беріңіз. Мұндай өлшемнің көптеген түрлі кеңейтулері бар; мысалы: жиынның өлшемі оның көлденең қималарының өлшемдерінің қосындысына тең. Бұл ең кіші мүмкін кеңейту. Мұнда диагональдің өлшемі 0-ге тең. Жиынның өлшемі – берілген координатасы бар жиынның нүктелерінің саны. Диагональдің өлшемі 1-ге тең. Каратеодори кеңейтімі, бұл мүмкін болатын ең үлкен кеңейту. Кез келген шекті өлшемді жиын саналатын көлденең түзулердің бірігуіне кіреді. Атап айтқанда, диагональдің өлшемі шексіз.
The measure of a subset is the sum of the measures of its horizontal sections. This is the smallest possible extension. Here the diagonal has measure 0. The measure of a subset is where is the number of points of the subset with given coordinate. The diagonal has measure 1. The Carathéodory extension, which is the largest possible extension. Any subset of finite measure is contained in some union of a countable number of horizontal lines. In particular the diagonal has measure infinity.