Введение

Теорема о расширении предварительных мер до мер

В теории меры теорема расширения Каратеодори (названная в честь математика Константина Каратеодори) утверждает, что любая предварительная мера, определенная на заданном кольце подмножеств R заданного множества Ω, может быть расширена до меры на σ-кольце, порожденном R, и это расширение единственно, если предварительная мера σ-конечна. Следовательно, любая предварительная мера на кольце, содержащем все интервалы действительных чисел, может быть расширена до борелевской σ-алгебры множества действительных чисел. Это чрезвычайно мощный результат теории меры, приводящий, например, к мере Лебега. Теорема также иногда известна как теорема расширения Каратеодори — Фреше, теорема расширения Каратеодори — Хопфа, теорема расширения Хопфа и теорема расширения Хана — Колмогорова.

Комментарии

Эта теорема примечательна тем, что позволяет построить меру, сначала определив её на небольшой алгебре множеств, где её сигма-аддитивность можно легко проверить, а затем эта теорема гарантирует её расширение до сигма-алгебры. Доказательство этой теоремы нетривиально, поскольку оно требует перехода от алгебры множеств к потенциально гораздо большей сигма-алгебре, гарантируя, что расширение единственно (если исходная алгебра конечна) и, более того, что оно сохраняет сигма-аддитивность исходной функции.

Мотивация

В теории меры нас интересуют не полукольца и сами кольца, а σ-алгебры, ими порожденные. Суть в том, что можно построить предмеру на полукольце (например, меры Стильтьеса), которую затем можно расширить до предмеры, а затем – до меры на σ-алгебре, используя теорему расширения Каратеодори. Поскольку σ-алгебры, порожденные полукольцами и кольцами, совпадают, эта разница несущественна (по крайней мере, в контексте теории меры). Фактически, теорему расширения Каратеодори можно немного обобщить, заменив кольцо полуполем. Определение полукольца может показаться несколько сложным, но следующий пример демонстрирует его полезность (более того, оно позволяет нам получить явное представление о наименьшем кольце, содержащем заданное полукольцо).

Пример

Подумайте о подмножестве, заданном множеством всех полуоткрытых интервалов для вещественных чисел a и b. Это полукольцо, но не кольцо. Меры Стильтьеса определены на интервалах; доказать счетную аддитивность на полукольце не слишком сложно, поскольку мы рассматриваем только счетные объединения интервалов, которые сами являются интервалами. Доказательство для произвольных счетных объединений интервалов осуществляется с помощью теоремы Каратеодори.

Примеры не-уникальности расширения

Может существовать более одного расширения предварительной меры на сгенерированную σ-алгебру, если предварительная мера не является конечной, даже если сами расширения конечны (см. пример "Via rationals" ниже).

Через счетную меру

Возьмите алгебру, порожденную всеми полуоткрытыми интервалами [a,b) на вещественной прямой, и припишите таким интервалам бесконечную меру, если они непусты. Расширение Каратеодори приписывает бесконечную меру всем непустым множествам. Другое расширение дается счетной мерой.

Через рационалы

Этот пример является более подробным вариантом предыдущего. Рациональный полуоткрытый интервал – это любое подмножество вида , где . Пусть и пусть – алгебра всех конечных объединений рациональных полуоткрытых интервалов, содержащихся в . Легко доказать, что действительно является алгеброй. Также легко увидеть, что кардинальность каждого непустого множества в равна .

Пусть – счетная функция множества, определенная в . Очевидно, что конечно аддитивна и аддитивна в . Поскольку каждое непустое множество в бесконечно, то для каждого непустого множества ,

Теперь пусть – алгебра, порожденная . Легко увидеть, что является алгеброй всех подмножеств , и и – меры, определенные на , и обе являются расширениями . Отметим, что в этом случае оба расширения конечны, поскольку счетно.

Теорема Виа Фубини

Другой пример тесно связан с тем, что некоторые формы теоремы Фубини не выполняются для пространств, не являющихся сигма-конечными. Пусть [0,1] – единичный интервал с мерой Лебега, а [0,1] – единичный интервал с дискретной мерой счёта. Пусть кольцо R порождено произведениями A x B, где A – измеримое по Лебегу множество, а B – любое подмножество, и определим меру на этом множестве как m(A x B) = m(A). Это допускает очень большое количество различных расширений до меры; например:

Мера подмножества равна сумме мер его горизонтальных сечений. Это наименьшее возможное расширение. Здесь диагональ имеет меру 0. Мера подмножества равна сумме кардинальностей его вертикальных сечений, то есть числу точек подмножества с заданной x-координатой. Диагональ имеет меру 1. Расширение Каратеодори, которое является наибольшим возможным расширением. Любое подмножество конечной меры содержится в некотором объединении счётного числа горизонтальных линий. В частности, диагональ имеет бесконечную меру.